电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
14．证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出部分和表达式
对于固定的 $x$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}$ 是等比级数，公比为 $\frac{1}{1+x^{2}}$。当 $x=0$ 时，每一项为 $0$，部分和 $S_N(0)=0$。当 $x \neq 0$ 时，利用等比数列求和公式，前 $N$ 项部分和为：
$$S_N(x) = x^2 \cdot \frac{\frac{1}{1+x^2}\left(1 - \frac{1}{(1+x^2)^N}\right)}{1 - \frac{1}{1+x^2}}$$
公式：$S_N(x) = x^2 \cdot \frac{\frac{1}{1+x^2}\left(1 - \frac{1}{(1+x^2)^N}\right)}{1 - \frac{1}{1+x^2}}$
提示：注意 $x=0$ 时不能直接用等比公式，需单独讨论。
步骤 2/5
目标：化简部分和并求和函数
化简分母：$1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$，代入得：
$$S_N(x) = x^2 \cdot \frac{\frac{1}{1+x^2}\left(1 - \frac{1}{(1+x^2)^N}\right)}{\frac{x^2}{1+x^2}} = 1 - \frac{1}{(1+x^2)^N}$$
令 $N \to \infty$，当 $x=0$ 时，$S_N(0)=0$，极限为 $0$；当 $x \neq 0$ 时，$(1+x^2)^N \to \infty$，故 $S(x)=1$。因此和函数为：
$$S(x) = \begin{cases} 0, & x=0 \\ 1, & x \neq 0 \end{cases}$$
公式：$S_N(x) = 1 - \frac{1}{(1+x^2)^N}$，$S(x)=\begin{cases}0,&x=0\\1,&x\neq0\end{cases}$
提示：和函数在 $x=0$ 处不连续，这是判断非一致收敛的关键线索。
步骤 3/5
目标：计算部分和与和函数之差的表达式
对于任意 $x \in \mathbb{R}$，考虑差值的绝对值 $|S_N(x)-S(x)|$：
- 当 $x=0$ 时，$S_N(0)=0$，$S(0)=0$，差为 $0$。
- 当 $x \neq 0$ 时，$S_N(x)=1-\frac{1}{(1+x^2)^N}$，$S(x)=1$，差为 $\left|1-\frac{1}{(1+x^2)^N}-1\right| = \frac{1}{(1+x^2)^N}$。
因此：
$$|S_N(x)-S(x)| = \begin{cases} 0, & x=0 \\ \frac{1}{(1+x^2)^N}, & x \neq 0 \end{cases}$$
公式：$|S_N(x)-S(x)| = \begin{cases} 0, & x=0 \\ \frac{1}{(1+x^2)^N}, & x \neq 0 \end{cases}$
提示：注意 $x=0$ 处差为0，但 $x$ 趋近于0时差趋近于1，这会导致上确界问题。
步骤 4/5
目标：求上确界并判断一致收敛性
一致收敛要求 $\lim_{N\to\infty} \sup_{x\in\mathbb{R}} |S_N(x)-S(x)| = 0$。
对于固定的 $N$，考虑函数 $f(x)=\frac{1}{(1+x^2)^N}$（$x\neq0$）。当 $x\to 0$ 时，$(1+x^2)^N \to 1$，所以 $f(x) \to 1$。因此，无论 $N$ 多大，总可以取充分接近 $0$ 但不等于 $0$ 的 $x$，使得 $|S_N(x)-S(x)|$ 任意接近 $1$。于是：
$$\sup_{x\in\mathbb{R}} |S_N(x)-S(x)| = 1$$
该上确界不依赖于 $N$，且不趋于 $0$。
公式：$\sup_{x\in\mathbb{R}} |S_N(x)-S(x)| = 1$
提示：易错点：误以为 $x=0$ 处的差为0就能使上确界变小，但 $x$ 趋近于0时差趋近于1，所以上确界恒为1。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $\lim_{N\to\infty} \sup_{x\in\mathbb{R}} |S_N(x)-S(x)| = 1 \neq 0$，根据一致收敛的定义，该函数项级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛。
公式：$\lim_{N\to\infty} \sup_{x\in\mathbb{R}} |S_N(x)-S(x)| = 1 \neq 0$
提示：非一致收敛的常见原因是和函数不连续，而每个部分和连续，这违反了连续函数一致收敛极限必连续的定理。
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