电子科技大学 2024年数学分析第0题

被积函数为 $f(x)=\frac{x}{1+x^{5}\sin^{2}x}$，在 $x\ge 0$ 上非负。分母中 $x^{5}\sin^{2}x$ 在 $\sin x$ 接近零时很小，此时 $f(x)\approx x$，可能导致发散。$\sin x=0$ 的点为 $x=k\pi\ (k=0,1,2,\dots)$，这些点附近是收敛性分析的关键区域。

将积分拆分为 $\int_{0}^{\infty} = \int_{0}^{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}$。在区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上，令 $t=x-k\pi$，则 $t\in[0,\pi]$，$\sin x = \sin t$，且 $x = k\pi + t$。于是该区间上的积分为： $$\int_{0}^{\pi} \frac{k\pi + t}{1 + (k\pi + t)^{5}\sin^{2}t} \, dt$$

由于 $k\pi + t \ge k\pi$ 且 $k\pi + t \le (k+1)\pi$，分母中 $(k\pi + t)^{5} \ge (k\pi)^{5}$，因此： $$\frac{k\pi + t}{1 + (k\pi + t)^{5}\sin^{2}t} \le \frac{(k+1)\pi}{1 + (k\pi)^{5}\sin^{2}t}$$ 于是每个区间上的积分满足： $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x)\,dx \le (k+1)\pi \int_{0}^{\pi} \frac{dt}{1 + (k\pi)^{5}\sin^{2}t}$$

利用标准积分公式 $\int_{0}^{\pi} \frac{dt}{1 + A\sin^{2}t} = \frac{\pi}{\sqrt{1+A}}$（$A>0$）。令 $A=(k\pi)^{5}$，则： $$\int_{0}^{\pi} \frac{dt}{1 + (k\pi)^{5}\sin^{2}t} = \frac{\pi}{\sqrt{1+(k\pi)^{5}}} \le \frac{\pi}{(k\pi)^{5/2}}$$ 代入放缩式得： $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x)\,dx \le (k+1)\pi \cdot \frac{\pi}{(k\pi)^{5/2}} = \frac{k+1}{k^{5/2}} \cdot \pi^{2-5/2} \le C \cdot \frac{1}{k^{3/2}}$$ 其中 $C$ 为常数（例如取 $C=2\pi^{2-5/2}$ 对充分大的 $k$ 成立）。

由上述估计，$\int_{\pi}^{\infty} f(x)\,dx \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{C}{k^{3/2}}$。由于 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}}$ 收敛（$p$-级数，$p=3/2>1$），故 $\int_{\pi}^{\infty} f(x)\,dx$ 收敛。而 $\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx$ 是常义积分（被积函数在 $[0,\pi]$ 上连续，分母 $1+x^{5}\sin^{2}x \ge 1$，无奇点），因此原反常积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛。