电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
16．已知 $\lambda>0, \beta \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为正数列，且满足
$$
\liminf _{n \rightarrow \infty} n^{\beta}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda
$$
证明：对任意的 $k>0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{k} a_{n}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解条件并转化为不等式
已知 $\liminf_{n \to \infty} n^{\beta}\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$，其中 $0<\beta<1$。由下极限的定义，存在 $N_1 \in \mathbb{N}$，使得当 $n \ge N_1$ 时，有 $n^{\beta}\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) \ge \frac{\lambda}{2}>0$。因此得到递推不等式：$\frac{a_n}{a_{n+1}} \ge 1+\frac{\lambda}{2}n^{-\beta}$，即 $a_{n+1} \le \frac{a_n}{1+\frac{\lambda}{2}n^{-\beta}}$。
公式：$a_{n+1} \le \frac{a_n}{1+\frac{\lambda}{2}n^{-\beta}}$
提示：注意下极限为正意味着最终所有项都大于某个正数，这里取 $\lambda/2$ 作为下界。
步骤 2/4
目标：取对数转化为累加形式
对不等式 $a_{n+1} \le \frac{a_n}{1+\frac{\lambda}{2}n^{-\beta}}$ 两边取自然对数，得 $\ln a_{n+1} - \ln a_n \le -\ln\left(1+\frac{\lambda}{2}n^{-\beta}\right)$。由于 $n$ 充分大时 $\frac{\lambda}{2}n^{-\beta}$ 很小，利用不等式 $\ln(1+x) \ge \frac{x}{2}$ 对 $0
公式：$\ln a_{n+1} - \ln a_n \le -\frac{\lambda}{4}n^{-\beta}$
提示：这里使用了 $\ln(1+x) \ge x/2$ 对 $x\in(0,1)$ 成立，确保放缩方向正确。
步骤 3/4
目标：累加得到对数上界估计
对 $n$ 从 $N$ 到 $m-1$ 累加上述不等式，得 $\ln a_m - \ln a_N \le -\frac{\lambda}{4}\sum_{n=N}^{m-1} n^{-\beta}$。利用积分估计：$\sum_{n=N}^{m-1} n^{-\beta} \ge \int_{N}^{m} x^{-\beta} \,dx = \frac{m^{1-\beta} - N^{1-\beta}}{1-\beta}$。因此 $\ln a_m \le \ln a_N - \frac{\lambda}{4(1-\beta)}(m^{1-\beta} - N^{1-\beta})$。记常数 $C = \ln a_N + \frac{\lambda}{4(1-\beta)}N^{1-\beta}$，则 $\ln a_m \le C - \frac{\lambda}{4(1-\beta)} m^{1-\beta}$。
公式：$\ln a_m \le C - \frac{\lambda}{4(1-\beta)} m^{1-\beta}$
提示：积分估计时注意 $0<\beta<1$，所以 $1-\beta>0$，积分发散到无穷，这是关键。
步骤 4/4
目标：证明对任意 k>0 有 n^k a_n → 0
考虑 $\ln(n^k a_n) = k\ln n + \ln a_n$。代入上一步估计，对充分大的 $n$ 有 $\ln(n^k a_n) \le k\ln n + C - \frac{\lambda}{4(1-\beta)} n^{1-\beta}$。由于 $1-\beta > 0$，当 $n \to \infty$ 时，$n^{1-\beta}$ 的增长速度远快于 $\ln n$，因此右边趋于 $-\infty$。这意味着 $\lim_{n\to\infty} \ln(n^k a_n) = -\infty$，从而 $\lim_{n\to\infty} n^k a_n = 0$。由于 $k>0$ 是任意的，结论得证。
公式：$\lim_{n\to\infty} n^k a_n = 0$
提示：这里 $n^{1-\beta}$ 是主导项，它保证了指数衰减比任何幂函数都快。
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