电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
8．计算曲线积分
$$
\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}
$$
其中 $L: x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察被积表达式，判断奇点位置
曲线积分为 \(\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}\)，其中 \(L: x^{2}+y^{2}=1\) 取逆时针方向。分母 \(x^2+4y^2\) 在原点处为零，原点位于单位圆内部，因此被积函数在区域内存在奇点，不能直接应用格林公式。
公式：奇点位于 \((0,0)\)
提示：注意分母为零的点是否在积分曲线内部，若在内部则需挖洞处理。
步骤 2/6
目标：检查向量场的旋度，判断是否恰当
设 \(P = \frac{x-y}{x^2+4y^2}\)，\(Q = \frac{x+4y}{x^2+4y^2}\)。计算偏导数：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{x^2+4y^2} - \frac{8y(x-y)}{(x^2+4y^2)^2}
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{x^2+4y^2} - \frac{2x(x+4y)}{(x^2+4y^2)^2}
\]
两者不相等，且 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2}{x^2+4y^2} - 2\)，不是零，故不是恰当形式。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2}{x^2+4y^2} - 2
提示：旋度不为零时，曲线积分与路径有关，不能直接利用与路径无关性。
步骤 3/6
目标：采用参数化方法直接计算积分
令 \(x = \cos\theta\)，\(y = \sin\theta\)，\(\theta: 0 \to 2\pi\)，则 \(\mathrm{d}x = -\sin\theta \mathrm{d}\theta\)，\(\mathrm{d}y = \cos\theta \mathrm{d}\theta\)。分母为 \(x^2+4y^2 = \cos^2\theta + 4\sin^2\theta = 1 + 3\sin^2\theta\)。分子部分：
\[
(x-y)\mathrm{d}x = (\cos\theta - \sin\theta)(-\sin\theta)\mathrm{d}\theta = (-\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta)\mathrm{d}\theta
\]
\[
(x+4y)\mathrm{d}y = (\cos\theta + 4\sin\theta)\cos\theta\mathrm{d}\theta = (\cos^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta)\mathrm{d}\theta
\]
相加得 \((\sin^2\theta + \cos^2\theta + 3\sin\theta\cos\theta)\mathrm{d}\theta = (1 + 3\sin\theta\cos\theta)\mathrm{d}\theta\)。因此积分化为：
\[
I = \int_0^{2\pi} \frac{1+3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} \mathrm{d}\theta
\]
公式：I = \int_0^{2\pi} \frac{1+3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} \mathrm{d}\theta
提示：参数化时注意 \(\mathrm{d}x\) 和 \(\mathrm{d}y\) 的符号，以及三角恒等式的正确使用。
步骤 4/6
目标：拆分积分并化简
将积分拆分为两项：
\[
I = \int_0^{2\pi} \frac{1}{1+3\sin^2\theta} \mathrm{d}\theta + \int_0^{2\pi} \frac{3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} \mathrm{d}\theta
\]
对于第二项，令 \(u = \sin^2\theta\)，则 \(\mathrm{d}u = 2\sin\theta\cos\theta \mathrm{d}\theta\)，在 \([0,2\pi]\) 上，\(\sin^2\theta\) 的周期为 \(\pi\)，且函数值在端点相同，故第二项积分为零。因此：
\[
I = \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}\theta}{1+3\sin^2\theta}
\]
公式：\int_0^{2\pi} \frac{3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} \mathrm{d}\theta = 0
提示：第二项可利用原函数 \(\frac{1}{2}\ln(1+3\sin^2\theta)\) 在周期区间上的定积分为零来理解。
步骤 5/6
目标：利用对称性化简积分
被积函数 \(\frac{1}{1+3\sin^2\theta}\) 以 \(\pi\) 为周期，且在 \([0,\pi/2]\) 上对称，因此：
\[
\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}\theta}{1+3\sin^2\theta} = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{1+3\sin^2\theta}
\]
公式：\int_0^{2\pi} f(\sin^2\theta) \mathrm{d}\theta = 4\int_0^{\pi/2} f(\sin^2\theta) \mathrm{d}\theta
提示：利用 \(\sin^2\theta\) 的对称性时，注意区间划分和周期性质。
步骤 6/6
目标：使用万能代换计算积分
令 \(t = \tan\theta\)，则 \(\theta: 0 \to \pi/2\) 对应 \(t: 0 \to \infty\)，且 \(\sin^2\theta = \frac{t^2}{1+t^2}\)，\(\mathrm{d}\theta = \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}\)。分母化为：
\[
1+3\sin^2\theta = 1 + \frac{3t^2}{1+t^2} = \frac{1+4t^2}{1+t^2}
\]
因此：
\[
\frac{\mathrm{d}\theta}{1+3\sin^2\theta} = \frac{\mathrm{d}t/(1+t^2)}{(1+4t^2)/(1+t^2)} = \frac{\mathrm{d}t}{1+4t^2}
\]
积分变为：
\[
I = 4\int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+4t^2} = 4 \cdot \frac{1}{2} \arctan(2t) \Big|_0^{\infty} = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi
\]
公式：\int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+4t^2} = \frac{\pi}{4}
提示：万能代换时注意积分限的变化，以及 \(\arctan\) 在无穷远处的极限值。
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