电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
11．计算积分 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos 2 x y \mathrm{~d} x$ ，其中 $y \in \mathbb{R}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入含参积分并建立微分方程
考虑更一般的积分 $F(a)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(ax) \, dx$，则原积分 $I(y)=F(2y)$。对 $a$ 求导得 $F'(a)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} (-x \sin(ax)) \, dx = -\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(ax) \, dx$。
公式：F(a)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(ax) \, dx,\quad F'(a)=-\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(ax) \, dx
提示：注意对参数求导时，积分与求导可交换的条件（被积函数光滑且积分一致收敛）。
步骤 2/5
目标：用分部积分化简导数表达式
对 $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(ax) \, dx$ 使用分部积分：令 $u=\sin(ax)$，$dv=x e^{-x^{2}}dx$，则 $du=a\cos(ax)dx$，$v=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}$。于是
\[
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(ax) \, dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\sin(ax)\right]_{0}^{+\infty} + \frac{a}{2}\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}}\cos(ax)\,dx = \frac{a}{2}F(a).
\]
因此 $F'(a)=-\frac{a}{2}F(a)$。
公式：\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(ax) \, dx = \frac{a}{2}F(a),\quad F'(a)=-\frac{a}{2}F(a)
提示：分部积分时注意边界项：$x=0$ 时 $\sin(0)=0$，$x\to+\infty$ 时 $e^{-x^{2}}\to0$，故边界项为零。
步骤 3/5
目标：解微分方程求F(a)
由 $F'(a)=-\frac{a}{2}F(a)$ 分离变量得 $\frac{dF}{F}=-\frac{a}{2}da$，积分得 $\ln F = -\frac{a^{2}}{4}+C$，即 $F(a)=Ce^{-a^{2}/4}$。
公式：\frac{dF}{F}=-\frac{a}{2}da \Rightarrow \ln F = -\frac{a^{2}}{4}+C \Rightarrow F(a)=Ce^{-a^{2}/4}
提示：积分常数 $C$ 需由初始条件确定。
步骤 4/5
目标：利用已知积分确定常数
当 $a=0$ 时，$F(0)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。代入 $F(0)=Ce^{0}=C$，得 $C=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$。故 $F(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-a^{2}/4}$。
公式：F(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2},\quad F(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-a^{2}/4}
提示：高斯积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 是常用结果，需熟记。
步骤 5/5
目标：代回原参数得到最终结果
原积分 $I(y)=F(2y)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-(2y)^{2}/4}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-y^{2}}$。
公式：I(y)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-y^{2}}
提示：注意 $a=2y$，代入时指数部分化简为 $e^{-y^{2}}$。
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