电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
7．方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x y+y+y^{2} z=0 ; \\
x^{y}+y z-z^{2}+5=0 .
\end{array} \quad(\text { 可能有误 })\right.
$$
在点 $P(1,-2,1)$ 附近能否唯一确定隐函数组？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：验证点P是否满足方程组
将点\(P(1,-2,1)\)代入第一个方程：\(1\cdot(-2)+(-2)+(-2)^2\cdot1 = -2-2+4=0\)，成立。代入第二个方程：\(1^{-2}+(-2)\cdot1-1^2+5 = 1-2-1+5=3\)，不等于0。因此点\(P\)不满足第二个方程，不在方程组定义的曲面上。
公式：\(1^{-2}+(-2)\cdot1-1^2+5=3\neq0\)
提示：注意指数运算：\(1^{-2}=1\)，以及负数的平方为正数。
步骤 2/4
目标：分析隐函数定理的适用前提
隐函数定理要求点\(P\)满足方程组（即\(F(P)=0, G(P)=0\)），且雅可比矩阵在\(P\)处非奇异。由于点\(P\)不满足第二个方程，定理的前提条件不成立，无法应用。
公式：隐函数定理前提：\(F(P)=0, G(P)=0\)
提示：隐函数定理的验证必须从点满足方程开始。
步骤 3/4
目标：推测可能的题目错误
为使点\(P\)满足第二个方程，常数项5可能应为2（因为\(1-2-1+2=0\)），或符号有误。题目已标注“可能有误”，故按给定条件处理。
公式：修正后：\(x^{y}+yz-z^{2}+2=0\)
提示：注意检查方程中的常数项和符号。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于点\(P(1,-2,1)\)不满足第二个方程，因此不在方程组所确定的曲面上，无法在该点附近讨论隐函数组的唯一确定性问题。
公式：无
提示：结论应基于给定条件，不进行假设性判断。
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