电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
6．将 $f(x)=\pi-x, x \in(0, \pi)$ 展开成正弦级数 $\_\_\_\_$ ，并写出和函数 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确展开方式与延拓方法
正弦级数对应奇延拓。将 $f(x)=\pi-x$ 在 $(0,\pi)$ 上奇延拓到 $(-\pi,\pi)$，再周期延拓到整个实数轴，周期为 $2\pi$。延拓后的函数为：
$$F(x)=\begin{cases} \pi-x, & 0
提示：注意正弦级数对应奇延拓，余弦级数对应偶延拓。
步骤 2/6
目标：写出正弦级数形式与系数公式
正弦级数形式为：
$$f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)$$
其中系数公式为：
$$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$$
公式：$$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$$
提示：系数公式中的 $\frac{2}{\pi}$ 来源于区间长度 $\pi$ 的正弦级数展开。
步骤 3/6
目标：计算系数 $b_n$ 的积分
代入 $f(x)=\pi-x$：
$$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi-x)\sin(nx)\,dx$$
先计算两个积分：
$$\int_0^\pi \pi\sin(nx)\,dx = \pi\cdot\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi = \pi\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}$$
$$\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx \xrightarrow{\text{分部积分}} \left[-x\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{1}{n}\int_0^\pi\cos(nx)\,dx = -\frac{\pi(-1)^n}{n}+0 = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$
公式：$$\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$
提示：分部积分时注意符号，$\int \sin(nx)dx = -\frac{\cos(nx)}{n}$。
步骤 4/6
目标：合并积分结果得到 $b_n$
将两个积分结果相减：
$$\int_0^\pi (\pi-x)\sin(nx)\,dx = \pi\frac{1-(-1)^n}{n} - \left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{\pi}{n}\left[1-(-1)^n+(-1)^n\right] = \frac{\pi}{n}$$
因此：
$$b_n = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{n} = \frac{2}{n}$$
公式：$$b_n = \frac{2}{n}$$
提示：注意 $1-(-1)^n+(-1)^n=1$，化简时不要遗漏项。
步骤 5/6
目标：写出正弦级数展开式
将系数代入级数形式，得到 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上的正弦级数展开为：
$$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}\sin(nx), \quad x\in(0,\pi)$$
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}\sin(nx)$$
提示：级数中 $n$ 从1开始，没有常数项。
步骤 6/6
目标：确定和函数 $S(x)$
根据傅里叶级数收敛定理，在连续点处级数和等于函数值，在间断点处等于左右极限的平均值。
- 当 $x\in(0,\pi)$ 时，$S(x)=\pi-x$。
- 在 $x=0$ 和 $x=\pi$ 处，奇延拓后函数值为0，且左右极限平均值也为0，故 $S(0)=S(\pi)=0$。
- 对于其他 $x$，按周期 $2\pi$ 和奇函数性质延拓。
公式：$$S(x)=\begin{cases} \pi-x, & 0
提示：注意端点处和函数为0，不要误写为 $\pi$ 或 $0$ 以外的值。
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