电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别级数类型并回忆相关幂级数展开
观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}$，其通项为 $\frac{1}{n \cdot 2^{n}}$，形如 $\frac{x^n}{n}$ 的形式。回忆常见幂级数展开：$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，其中 $|x|<1$。
公式：-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad |x|<1
提示：注意幂级数展开的收敛区间为 $|x|<1$，而 $x=\frac{1}{2}$ 满足条件。
步骤 2/4
目标：代入特定x值
令 $x = \frac{1}{2}$，代入上述展开式：
$$-\ln\left(1-\frac{1}{2}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}$$
公式：-\ln\left(1-\frac{1}{2}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}
提示：代入时要小心，$(1/2)^n = 1/2^n$，与题目完全一致。
步骤 3/4
目标：计算左边对数值
计算 $1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，因此：
$$-\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -(\ln 1 - \ln 2) = -(-\ln 2) = \ln 2$$
公式：-\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2
提示：注意 $\ln(1)=0$，且 $\ln(a/b)=\ln a - \ln b$，避免符号错误。
步骤 4/4
目标：得出级数和
由以上推导可得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} = \ln 2$$
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} = \ln 2
提示：最终结果是一个简洁的对数形式，无需进一步化简。
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