电子科技大学 2024年数学分析第0题

区域由两个圆围成：大圆$x^2+y^2=4$（圆心$(0,0)$，半径$2$）与小圆$(x+1)^2+y^2=1$（圆心$(-1,0)$，半径$1$）。两圆圆心距为$1$，大圆半径减去小圆半径等于$1$，因此两圆内切于点$(-2,0)$。小圆完全位于大圆内部，故区域$D$为大圆内部减去小圆内部：$D=\{ (x,y) \mid x^2+y^2 \le 4,\ (x+1)^2+y^2 \ge 1 \}$。

被积函数为$\sqrt{x^2+y^2}+y$。区域$D$关于$x$轴对称（两个圆均关于$x$轴对称），而$y$是奇函数，因此$\iint_D y\,dxdy=0$。原积分简化为$\iint_D \sqrt{x^2+y^2}\,dxdy$。

令$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，则$\sqrt{x^2+y^2}=r$，面积元$dxdy=r\,dr d\theta$。大圆边界为$r=2$。小圆方程$(x+1)^2+y^2=1$化为极坐标：$(r\cos\theta+1)^2+(r\sin\theta)^2=1$，展开得$r^2+2r\cos\theta=0$，即$r(r+2\cos\theta)=0$，故小圆边界为$r=-2\cos\theta$（$r>0$要求$\cos\theta<0$，即$\theta\in(\pi/2,3\pi/2)$）。

对于每个$\theta$，$r$的下限：当$\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$时，小圆不覆盖该角度范围，$r$从$0$到$2$；当$\theta\in[\pi/2,3\pi/2]$时，$r$从小圆边界$-2\cos\theta$到$2$。因此积分分为两部分： 1. $\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} r\cdot r\,dr d\theta$ 2. $\int_{\theta=\pi/2}^{3\pi/2}\int_{r=-2\cos\theta}^{2} r\cdot r\,dr d\theta$

内层积分：$\int_0^2 r^2 dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$。外层积分区间长度：$\pi/2 - (-\pi/2) = \pi$。第一部分值为$\frac{8}{3}\pi$。

内层积分：$\int_{-2\cos\theta}^{2} r^2 dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_{-2\cos\theta}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{(-2\cos\theta)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8\cos^3\theta}{3}$。外层积分：$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \left(\frac{8}{3} + \frac{8}{3}\cos^3\theta\right) d\theta = \frac{8}{3}\pi + \frac{8}{3}\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos^3\theta\,d\theta$。令$u=\theta-\pi$，则$\cos\theta=-\cos u$，$\cos^3\theta=-\cos^3 u$，积分区间对称，奇函数积分为$0$。故第二部分值为$\frac{8\pi}{3}$。

总积分 = 第一部分 + 第二部分 = $\frac{8\pi}{3} + \frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}$。由于$y$的积分为$0$，原二重积分即为$\frac{16\pi}{3}$。