电子科技大学 2024年数学分析第0题

首先求函数 $u(x,y,z)=xyz$ 的三个偏导数： \[ \frac{\partial u}{\partial x}=yz,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=xz,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=xy \] 代入一阶全微分公式： \[ \mathrm{d}u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial u}{\partial z}\mathrm{d}z = yz\,\mathrm{d}x + xz\,\mathrm{d}y + xy\,\mathrm{d}z \]

对 $\mathrm{d}u$ 再次求全微分，将 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$ 视为常数： \[ \mathrm{d}^2u = \mathrm{d}(yz\,\mathrm{d}x) + \mathrm{d}(xz\,\mathrm{d}y) + \mathrm{d}(xy\,\mathrm{d}z) \] 分别计算： \[ \mathrm{d}(yz) = z\,\mathrm{d}y + y\,\mathrm{d}z,\quad \mathrm{d}(xz) = z\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}z,\quad \mathrm{d}(xy) = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y \] 代入得： \[ \mathrm{d}^2u = (z\,\mathrm{d}y + y\,\mathrm{d}z)\mathrm{d}x + (z\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}z)\mathrm{d}y + (y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y)\mathrm{d}z \] 展开并合并同类项（注意乘法可交换）： \[ \mathrm{d}^2u = 2z\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + 2y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}z + 2x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z \]

对 $\mathrm{d}^2u$ 再次求全微分，同样视 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 等为常数： \[ \mathrm{d}^3u = \mathrm{d}(2z\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y) + \mathrm{d}(2y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}z) + \mathrm{d}(2x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z) \] 计算各项： \[ \mathrm{d}(2z) = 2\,\mathrm{d}z,\quad \mathrm{d}(2y) = 2\,\mathrm{d}y,\quad \mathrm{d}(2x) = 2\,\mathrm{d}x \] 代入得： \[ \mathrm{d}^3u = 2\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + 2\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}z + 2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z \] 由于乘法可交换，三项均为 $2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，相加得： \[ \mathrm{d}^3u = 6\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \]