电子科技大学 2024年数学分析第0题

考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n-1} \frac{\sin^2 n}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2 n}{n}$。利用恒等式 $\sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$，得到 $\frac{\sin^2 n}{n} = \frac{1}{2n} - \frac{\cos 2n}{2n}$。于是绝对值级数可写为 $\frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - \frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n}{n}$。其中调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，而 $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ 由狄利克雷判别法（部分和 $\sum_{k=1}^n \cos 2k$ 有界，$\frac{1}{n}$ 单调趋于0）知收敛。因此绝对值级数发散，原级数非绝对收敛。

原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{\sin^2 n}{n}$，令 $a_n = \frac{\sin^2 n}{n}$。由于 $0 \le \sin^2 n \le 1$，有 $0 \le a_n \le \frac{1}{n}$，由夹逼定理知 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。但 $a_n$ 不单调：例如 $a_1 \approx 0.708$，$a_2 \approx 0.413$，$a_3 \approx 0.00663$，$a_4 \approx 0.143$，可见 $a_3 < a_4$，不满足单调递减条件，故莱布尼茨判别法失效。

将原级数写为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n c_n$，其中 $b_n = (-1)^{n-1} \sin^2 n$，$c_n = \frac{1}{n}$。利用恒等式 $(-1)^{n-1} \sin^2 n = \frac{(-1)^{n-1}}{2} - \frac{(-1)^{n-1} \cos 2n}{2}$。第一部分 $\frac{(-1)^{n-1}}{2}$ 的部分和为 $\frac12, 0, \frac12, 0, \dots$，有界。第二部分 $\frac{(-1)^{n-1} \cos 2n}{2}$ 可视为两个有界振荡函数的乘积，其部分和也有界（可通过积化和差化为三角函数和，利用三角函数部分和有界性）。因此 $b_n$ 的部分和有界。而 $c_n = \frac{1}{n}$ 单调趋于0。由狄利克雷判别法，原级数收敛。

原级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sin^2 n}{n}$ 收敛（由狄利克雷判别法），但其绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2 n}{n}$ 发散（因调和级数发散），故原级数条件收敛。