福州大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、（20 分）判别函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{\sqrt[4]{n}}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ 上的玫散性，若收敛指出是绝对收敛，还是条件收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\sin(nx)}{\sqrt[4]{n}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin(nx)|}{n^{1/4}}$。对于任意固定的 $x \in (0,\pi)$，由于 $\{nx \mod \pi\}$ 在 $[0,\pi)$ 上稠密，存在常数 $c>0$ 和无穷多个 $n$ 使得 $|\sin(nx)| \ge c$。因此有无穷多项满足 $\frac{|\sin(nx)|}{n^{1/4}} \ge \frac{c}{n^{1/4}}$。而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c}{n^{1/4}}$ 发散（因为 $p=1/4 \le 1$），由比较判别法知原级数不绝对收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin(nx)|}{n^{1/4}} \ge \sum_{k=1}^{\infty} \frac{c}{n_k^{1/4}}$ 发散
提示：注意 $|\sin(nx)|$ 的下界估计依赖于 $x$，但总能找到无穷多个 $n$ 使得 $|\sin(nx)|$ 不趋于0。
步骤 2/4
目标：判断条件收敛性：应用Dirichlet判别法
将级数写为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$，其中 $a_n = \frac{1}{\sqrt[4]{n}}$，$b_n = \sin(nx)$。验证条件：
1. $a_n$ 单调递减趋于0；
2. 部分和 $B_N(x) = \sum_{n=1}^N \sin(nx)$ 对每个固定的 $x \in (0,\pi)$ 有界。
由三角恒等式：$\sum_{n=1}^N \sin(nx) = \frac{\sin(Nx/2) \sin((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}$，当 $x \in (0,\pi)$ 时 $\sin(x/2) > 0$，故 $|B_N(x)| \le \frac{1}{\sin(x/2)}$，对每个 $x$ 有限。因此Dirichlet判别法适用，级数收敛。
公式：$\left| \sum_{n=1}^N \sin(nx) \right| \le \frac{1}{\sin(x/2)}$
提示：Dirichlet判别法要求部分和一致有界，但这里对每个固定点有界即可，因为收敛性是点态的。
步骤 3/4
目标：确定收敛类型
由第一步知级数不绝对收敛，由第二步知级数收敛，因此级数在 $(0,\pi)$ 上每一点都是条件收敛。
提示：条件收敛的定义：收敛但不绝对收敛。
步骤 4/4
目标：总结结论
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{\sqrt[4]{n}}$ 在区间 $(0,\pi)$ 上每一点都条件收敛，不是绝对收敛。
提示：注意区间端点 $x=0$ 或 $x=\pi$ 时级数退化为0，但题目指定 $(0,\pi)$ 开区间。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。