福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ，问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否可微？（7 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求 $f_x(0,0)$
由偏导定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $h\neq 0$ 时，$f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{h^2+0}=0$，且 $f(0,0)=0$，所以 $f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$。
公式：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
提示：注意代入 $(h,0)$ 时，分子为0，不要混淆分母为零的情况。
步骤 2/4
目标：求 $f_y(0,0)$
类似地，$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}$。当 $k\neq 0$ 时，$f(0,k)=\frac{0\cdot k}{0+k^2}=0$，所以 $f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0$。
公式：$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}$
提示：与求 $f_x$ 类似，注意代入 $(0,k)$ 时分子也为0。
步骤 3/4
目标：写出可微的定义并代入已知条件
若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，则存在常数 $A,B$（这里 $A=f_x(0,0)=0$，$B=f_y(0,0)=0$），使得 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-A h - B k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入 $A=0,B=0$ 及 $f(0,0)=0$，需验证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。
公式：$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$
提示：可微定义中的分母是距离 $\sqrt{h^2+k^2}$，不要误用其他形式。
步骤 4/4
目标：计算极限并判断可微性
当 $(h,k)\neq(0,0)$ 时，$f(h,k)=\frac{hk}{h^2+k^2}$，于是 $\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\frac{hk}{(h^2+k^2)^{3/2}}$。取路径 $h=k=t$，则 $\frac{t\cdot t}{(t^2+t^2)^{3/2}}=\frac{t^2}{(2t^2)^{3/2}}=\frac{t^2}{2^{3/2}|t|^3}=\frac{1}{2^{3/2}|t|}$。当 $t\to 0$ 时，该值趋于无穷大，不是0。因此极限不为0，函数在原点不可微。
公式：$\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\frac{hk}{(h^2+k^2)^{3/2}}$
提示：选择特殊路径 $h=k$ 是判断极限不存在的常用技巧，注意绝对值处理。
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