📝 福建师范大学 2026年数学分析真题

1．证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x=0$ ．（4 分）

2．求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．（6 分）

1．取 $x_{1} \in(0,1), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ ，证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。（7 分）

2．问 $\left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？（8分）

1．求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ，问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否可微？（7 分）

2．$f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否连续？（8分）

1．证明：$\displaystyle a_{n+2}+a_{n}=\frac{1}{n+1}$ ．（5 分）

2．判断 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin n$ 的收敛性（绝对收敛、条件收敛还是发散）。（10分）十一、已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ ．（15分）

1．证明：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导．（7 分）

2．证明：存在唯一的 $x_{0} \in(0,1)$ 使得 $f\left(x_{0}\right)=\ln 2$ 。（8分）

1．$\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) d x\right| \leq \frac{1}{4} \max _{x \in[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right|$（4 分）

2．$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} f(x) d x\right)^{2} \leq \frac{1}{12}\left(\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x\right)^{2}$ ．并指出取等条件．（6分）