福建师范大学 2026年数学分析第0题

题目中第一个级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n \sin n$ 的通项 $a_n$ 未明确给出，常见题型中 $a_n$ 通常为 $\frac{1}{n}$。此处假设 $a_n = \frac{1}{n}$（$n \ge 1$），$a_0$ 取 0 或常数不影响判断。因此判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}$ 的收敛性。

考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{\sin n}{n}\right|$。利用不等式 $|\sin n| \ge \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n} \ge \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2n}{n}$。其中 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，而 $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ 由 Dirichlet 判别法收敛，故原级数不绝对收敛。

应用 Dirichlet 判别法：数列 $\frac{1}{n}$ 单调递减趋于 0；部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} \sin n$ 有界（因为 $\sum_{n=1}^{N} \sin n = \frac{\cos \frac{1}{2} - \cos(N+\frac{1}{2})}{2\sin \frac{1}{2}}$，其绝对值不超过 $\frac{1}{|\sin \frac{1}{2}|}$）。因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}$ 收敛。结合上一步，该级数为条件收敛。

函数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\ln(1+n^2 x^2)}{n^2}$，当 $n=0$ 时分母为 0，通常理解为从 $n=1$ 开始求和。对固定的 $x$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\ln(1+n^2 x^2)}{n^2} \sim \frac{2\ln n + \ln x^2}{n^2}$，而 $\sum \frac{\ln n}{n^2}$ 收敛，故级数对每个实数 $x$ 都收敛。

对任意 $|x| \le M$，有 $\frac{\ln(1+n^2 x^2)}{n^2} \le \frac{\ln(1+n^2 M^2)}{n^2}$，而 $\sum \frac{\ln(1+n^2 M^2)}{n^2}$ 收敛。由 Weierstrass M-判别法，级数在任意闭区间 $[-M, M]$ 上一致收敛，且每项连续，故 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

对 $n \ge 1$，逐项求导得 $\frac{d}{dx} \frac{\ln(1+n^2 x^2)}{n^2} = \frac{2x}{1+n^2 x^2}$。对固定的 $x \neq 0$，当 $n$ 大时 $\left|\frac{2x}{1+n^2 x^2}\right| \sim \frac{2}{|x| n^2}$，故导函数级数在 $x \neq 0$ 时局部一致收敛，且 $x=0$ 时导数为 0。因此可以逐项求导：$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2x}{1+n^2 x^2}$，特别地 $f'(0)=0$。