福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．问 $\left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？（8分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题背景与假设
题目仅给出“问 $\{n x_n\}$ 是否收敛？”，缺少对数列 $\{x_n\}$ 的具体条件。通常此类问题隐含已知 $x_n \to 0$，在此假设下讨论 $\{n x_n\}$ 的收敛性。
公式：$x_n \to 0$
提示：注意：若 $x_n$ 不趋于0，则 $n x_n$ 一般发散，但题目通常考察 $x_n \to 0$ 的情形。
步骤 2/5
目标：构造收敛的反例
取 $x_n = \frac{1}{n}$，则 $n x_n = 1$，显然收敛于1。这说明 $\{n x_n\}$ 有可能收敛。
公式：$x_n = \frac{1}{n} \Rightarrow n x_n = 1 \to 1$
提示：这是最简单的收敛例子，但不足以说明一般情况。
步骤 3/5
目标：构造发散到无穷的反例
取 $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，则 $n x_n = \sqrt{n}$，当 $n \to \infty$ 时趋于无穷，不收敛。
公式：$x_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \Rightarrow n x_n = \sqrt{n} \to +\infty$
提示：注意：$x_n \to 0$ 的速度较慢时，$n x_n$ 可能发散。
步骤 4/5
目标：构造振荡发散的反例
取 $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$，则 $n x_n = (-1)^n$，在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，不收敛。
公式：$x_n = \frac{(-1)^n}{n} \Rightarrow n x_n = (-1)^n$
提示：即使 $x_n$ 绝对值趋于0，符号变化也可能导致 $n x_n$ 振荡。
步骤 5/5
目标：总结结论
由以上反例可知，即使 $x_n \to 0$，$\{n x_n\}$ 仍可能收敛、发散到无穷或振荡，因此不能保证收敛。$\{n x_n\}$ 的收敛性取决于 $x_n$ 的具体性质（如收敛速度、单调性等）。
公式：无
提示：常见错误：误以为 $x_n \to 0$ 必然推出 $n x_n \to 0$，实际上需要 $x_n = o(1/n)$ 才保证 $n x_n \to 0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。