福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．证明：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导．（7 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与问题条件
题目未明确给出 $f(x)$ 的具体形式，但常见题型中 $f(x)$ 通常由含参积分定义。这里假设 $f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \sin t \, dt$，$x > 0$。我们需要证明 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上可导。
公式：f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \sin t \, dt
提示：如果实际题目中 $f(x)$ 形式不同，只需替换被积函数，推理方法一致。
步骤 2/5
目标：写出被积函数及其对 $x$ 的偏导数
设 $F(x,t) = e^{-xt} \sin t$，则对 $x$ 求偏导得 $\frac{\partial F}{\partial x} = -t e^{-xt} \sin t$。对于任意固定的 $x>0$，$F$ 和 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 关于 $t$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
公式：\frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-xt} \sin t \right) = -t e^{-xt} \sin t
提示：注意偏导数的连续性判断，这是应用含参积分可微性定理的前提。
步骤 3/5
目标：寻找控制函数以应用可微性定理
对任意 $x \ge a > 0$（$a$ 是任意小的正数），有 $\left| -t e^{-xt} \sin t \right| \le t e^{-a t}$。函数 $g(t) = t e^{-a t}$ 在 $[0,+\infty)$ 上可积，因为 $\int_0^{+\infty} t e^{-a t} \, dt = \frac{1}{a^2} < +\infty$。因此，在任意闭区间 $[a,b] \subset (0,+\infty)$ 上，偏导数被一个与 $x$ 无关的可积函数控制。
公式：\int_0^{+\infty} t e^{-a t} \, dt = \frac{1}{a^2}
提示：控制函数的选取要确保在 $x$ 的任意闭区间上一致有效，常用指数衰减函数。
步骤 4/5
目标：应用含参积分可微性定理（Leibniz法则）
由含参积分可微性定理：若被积函数 $F(x,t)$ 及其偏导数 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 在区域上连续，且存在可积控制函数，则积分与求导可交换次序。因此对任意 $x>0$，有 $f'(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-xt} \sin t \right) dt = -\int_0^{+\infty} t e^{-xt} \sin t \, dt$。该导数在 $(0,+\infty)$ 上存在且连续。
公式：f'(x) = -\int_0^{+\infty} t e^{-xt} \sin t \, dt
提示：交换次序后要验证新积分的收敛性，此处由控制函数保证。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上处处存在，根据可导的定义，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导。
提示：可导性只需导数存在，此处进一步得到导数连续，但题目仅要求证明可导。
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