福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．证明：$\displaystyle a_{n+2}+a_{n}=\frac{1}{n+1}$ ．（5 分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件
题目要求证明等式 $a_{n+2}+a_n=\frac{1}{n+1}$，但未给出数列 $\{a_n\}$ 的定义或背景。因此，无法直接进行证明。通常此类问题需要先明确 $a_n$ 的定义（例如通过积分或递推关系），然后利用分部积分或代数变形推导。
公式：无
提示：注意：证明前必须确认数列的定义，否则推导无依据。
步骤 2/5
目标：假设常见定义并尝试推导
假设 $a_n = \int_0^1 x^n \sin(\pi x)\,dx$，则 $a_{n+2} = \int_0^1 x^{n+2} \sin(\pi x)\,dx$。对 $a_{n+2}$ 应用分部积分：令 $u=x^{n+2}$，$dv=\sin(\pi x)dx$，得 $du=(n+2)x^{n+1}dx$，$v=-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}$。于是
$$a_{n+2} = \left[-x^{n+2}\frac{\cos(\pi x)}{\pi}\right]_0^1 + \frac{n+2}{\pi}\int_0^1 x^{n+1}\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi} + \frac{n+2}{\pi}\int_0^1 x^{n+1}\cos(\pi x)\,dx.$$
公式：$a_{n+2} = \frac{1}{\pi} + \frac{n+2}{\pi}\int_0^1 x^{n+1}\cos(\pi x)\,dx$
提示：分部积分时注意边界项的计算：$x=1$ 时 $\cos\pi=-1$，$x=0$ 时项为0。
步骤 3/5
目标：继续分部积分处理余弦积分
对 $\int_0^1 x^{n+1}\cos(\pi x)\,dx$ 再次分部积分：令 $u=x^{n+1}$，$dv=\cos(\pi x)dx$，则 $du=(n+1)x^n dx$，$v=\frac{\sin(\pi x)}{\pi}$。于是
$$\int_0^1 x^{n+1}\cos(\pi x)\,dx = \left[x^{n+1}\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_0^1 - \frac{n+1}{\pi}\int_0^1 x^n\sin(\pi x)\,dx = -\frac{n+1}{\pi}a_n.$$
公式：$\int_0^1 x^{n+1}\cos(\pi x)\,dx = -\frac{n+1}{\pi}a_n$
提示：边界项在 $x=0$ 和 $x=1$ 时 $\sin(\pi x)=0$，故为0。
步骤 4/5
目标：代入得到递推关系
将上一步结果代入 $a_{n+2}$ 表达式：
$$a_{n+2} = \frac{1}{\pi} + \frac{n+2}{\pi}\left(-\frac{n+1}{\pi}a_n\right) = \frac{1}{\pi} - \frac{(n+2)(n+1)}{\pi^2}a_n.$$
该结果与待证等式 $a_{n+2}+a_n=\frac{1}{n+1}$ 不符，说明假设的定义不正确。
公式：$a_{n+2} = \frac{1}{\pi} - \frac{(n+2)(n+1)}{\pi^2}a_n$
提示：此推导表明，若定义不同，结果会不同，因此必须依据原题定义。
步骤 5/5
目标：结论：题目条件不足
由于题目未给出数列 $\{a_n\}$ 的定义，无法完成证明。常见可能定义如 $a_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx$ 或 $a_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ 等，但均不直接产生该等式。建议补充完整题目条件。
公式：无
提示：遇到此类问题，应先检查题目是否完整，再选择合适方法（如分部积分、裂项等）。
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