福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．$f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否连续？（8分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数表达式并计算非原点处的偏导函数
假设函数为分段函数：
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \]
当 \((x,y) \neq (0,0)\) 时，对 \(x\) 求偏导：
\[ f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x^3}{x^2+y^2} \right) = \frac{3x^2(x^2+y^2) - x^3 \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^4 + 3x^2 y^2}{(x^2+y^2)^2} \]
对 \(y\) 求偏导：
\[ f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^3}{x^2+y^2} \right) = \frac{0 \cdot (x^2+y^2) - x^3 \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-2x^3 y}{(x^2+y^2)^2} \]
公式：f_x(x,y) = \frac{x^4 + 3x^2 y^2}{(x^2+y^2)^2}, \quad f_y(x,y) = \frac{-2x^3 y}{(x^2+y^2)^2}
提示：注意分母是平方和，求导时使用商法则，并化简分子。
步骤 2/5
目标：利用定义计算原点处的偏导数值
由偏导数定义：
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^3}{h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1 \]
\[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0 \]
公式：f_x(0,0)=1, \quad f_y(0,0)=0
提示：定义法求偏导时，注意代入函数在路径上的具体值，避免直接套用非原点处的表达式。
步骤 3/5
目标：判断 f_x(x,y) 在原点处的连续性
需要考察极限 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)\) 是否等于 \(f_x(0,0)=1\)。
沿路径 \(y=0\)：
\[ f_x(x,0) = \frac{x^4 + 0}{(x^2)^2} = 1 \]
沿路径 \(x=0\)：
\[ f_x(0,y) = \frac{0+0}{(0+y^2)^2} = 0 \]
不同路径极限不同（1 和 0），故极限不存在，因此 \(f_x(x,y)\) 在原点不连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) \text{ 不存在}
提示：判断多元函数连续性时，必须验证所有路径的极限是否一致，取两条特殊路径即可反证不连续。
步骤 4/5
目标：判断 f_y(x,y) 在原点处的连续性
需要考察极限 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y)\) 是否等于 \(f_y(0,0)=0\)。
沿路径 \(y=x\)：
\[ f_y(x,x) = \frac{-2x^3 \cdot x}{(x^2+x^2)^2} = \frac{-2x^4}{(2x^2)^2} = \frac{-2x^4}{4x^4} = -\frac{1}{2} \]
沿路径 \(y=0\)：
\[ f_y(x,0) = 0 \]
不同路径极限不同（\(-\frac{1}{2}\) 和 0），故极限不存在，因此 \(f_y(x,y)\) 在原点也不连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y) \text{ 不存在}
提示：选择路径时，尽量使分母和分子简化，如 y=x 可消去变量，便于计算极限。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上分析，\(f_x(x,y)\) 和 \(f_y(x,y)\) 在原点 \((0,0)\) 处均不连续。
公式：\text{结论：} f_x \text{ 和 } f_y \text{ 在 } (0,0) \text{ 处不连续}
提示：注意：偏导数存在不一定保证偏导数连续，本题正是反例。
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