福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．（6 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称代换 x = π - t
令 $x = \pi - t$，则 $dx = -dt$，当 $x$ 从 $0$ 到 $\pi$ 时，$t$ 从 $\pi$ 到 $0$。同时 $\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t$，$\cos x = \cos(\pi - t) = -\cos t$，因此 $\cos^2 x = \cos^2 t$。代入原积分得：
$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} dt$$
公式：$x = \pi - t$，$\sin(\pi - t) = \sin t$，$\cos(\pi - t) = -\cos t$
提示：注意代换后积分上下限的变化，以及负号的处理，交换上下限可去掉负号。
步骤 2/4
目标：将变换后的积分表达式与原始表达式相加
将变换后的积分中的变量 $t$ 改回 $x$，得到：
$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$$
与原式 $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$ 相加：
$$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$$
因此：
$$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$$
公式：$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$
提示：相加时分子中的 $x$ 和 $\pi - x$ 合并为常数 $\pi$，简化了积分。
步骤 3/4
目标：计算简化后的积分 $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$，当 $x=0$ 时 $u=1$，当 $x=\pi$ 时 $u=-1$。代入得：
$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}$$
计算该标准积分：
$$\int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = \left[ \arctan u \right]_{-1}^{1} = \arctan 1 - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$$
公式：$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$
提示：注意换元时 $du$ 的符号变化，以及积分限的对应关系，避免符号错误。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
将上一步结果代入 $I$ 的表达式：
$$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$
公式：$I = \frac{\pi}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$
提示：最终结果是一个简洁的常数，注意检查计算过程。
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