福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．证明：存在唯一的 $x_{0} \in(0,1)$ 使得 $f\left(x_{0}\right)=\ln 2$ 。（8分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数性质与条件
由于题目未明确给出函数$f(x)$的具体表达式，我们假设$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，且在开区间$(0,1)$内严格单调（例如严格递增或严格递减）。这是证明存在唯一性的典型前提。实际解题时需根据具体$f(x)$验证这些条件。
提示：注意检查题目中是否隐含了$f$的连续性和单调性条件，通常题目会给出$f(x)$的解析式。
步骤 2/5
目标：证明存在性：应用介值定理
首先验证$f(0)$和$f(1)$的值，并判断$\ln 2$是否介于两者之间。例如，若$f(0)<\ln 2
公式：\text{若 } f(0)<\ln 2
提示：介值定理要求函数在闭区间上连续，且目标值介于端点函数值之间。注意端点值可能为无穷大，此时需用极限处理。
步骤 3/5
目标：证明唯一性：利用严格单调性
若$f$在$(0,1)$内严格单调（例如$f'(x)>0$恒成立，则严格递增），则方程$f(x)=\ln 2$至多有一个根。结合存在性，即得存在唯一的$x_0\in(0,1)$满足条件。
公式：f'(x)>0 \text{ 或 } f'(x)<0 \text{ 在 } (0,1) \text{ 内恒成立} \Rightarrow f \text{ 严格单调}
提示：严格单调性是唯一性的充分条件。若函数可导，可通过导数符号判断单调性；若不可导，可用定义法证明。
步骤 4/5
目标：举例验证（假设具体函数）
假设$f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$，则$f(0)=0$，$\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty$，故$0<\ln 2<+\infty$，存在性成立。又$f'(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}>0$在$(0,1)$内恒成立，故严格递增，唯一性得证。
公式：f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x},\quad f'(x)=\frac{2}{1-x^2}>0
提示：实际解题时需代入题目给定的具体$f(x)$，并计算端点值及导数或单调性。
步骤 5/5
目标：总结结论
由连续函数的介值定理可知存在性，由函数的严格单调性可知唯一性，因此存在唯一的$x_0\in(0,1)$使得$f(x_0)=\ln 2$。
提示：最终答案需明确写出“存在唯一”的结论，并注明依据的定理。
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