福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x=0$ ．（4 分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入变量代换，将积分区间转化为对称区间
令 $t = x - \frac{\pi}{2}$，则 $x = t + \frac{\pi}{2}$，$dx = dt$。当 $x = 0$ 时，$t = -\frac{\pi}{2}$；当 $x = \pi$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$。原积分化为：
$$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} t \, f\left( \frac{\pi}{2} - \left(t + \frac{\pi}{2}\right) \right) dt = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} t \, f(-t) \, dt.$$
公式：$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} t \, f(-t) \, dt$
提示：注意代换后积分限的变化，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：对积分进行变量替换，将 $f(-t)$ 转化为 $f(u)$ 形式
令 $u = -t$，则 $t = -u$，$dt = -du$。当 $t = -\pi/2$ 时，$u = \pi/2$；当 $t = \pi/2$ 时，$u = -\pi/2$。代入得：
$$I = \int_{\pi/2}^{-\pi/2} (-u) \, f(u) \, (-du) = \int_{\pi/2}^{-\pi/2} u \, f(u) \, du.$$
公式：$I = \int_{\pi/2}^{-\pi/2} u \, f(u) \, du$
提示：注意两次负号相乘为正，但积分限顺序发生变化。
步骤 3/5
目标：交换积分限，得到与原始积分形式的关系
交换积分上下限，产生一个负号：
$$I = -\int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du.$$
公式：$I = -\int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du$
提示：交换积分限时，务必添加负号。
步骤 4/5
目标：利用积分变量符号的无关性，建立方程
观察第一步得到的表达式 $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} t \, f(-t) \, dt$ 与第三步的表达式 $I = -\int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du$，两者形式不同。但若在第一步中令 $v = -t$，则 $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (-v) \, f(v) \, (-dv) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} v \, f(v) \, dv$。因此有：
$$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du.$$
公式：$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du$
提示：这一步实际上是对第一步结果再次进行变量替换，注意积分限和负号的处理。
步骤 5/5
目标：联立两个表达式，得出积分值为零
由第三步得 $I = -\int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du$，由第四步得 $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du$。设 $J = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} u \, f(u) \, du$，则 $I = J$ 且 $I = -J$，故 $J = -J$，即 $2J = 0$，所以 $J = 0$，从而 $I = 0$。
公式：$I = J$ 且 $I = -J \Rightarrow J = 0 \Rightarrow I = 0$
提示：关键是通过不同的变量代换得到同一个积分的两种表示，从而建立方程。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。