福建师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．$\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) d x\right| \leq \frac{1}{4} \max _{x \in[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right|$（4 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确条件和目标
题目要证明的不等式为：
\[\left|\int_0^1 f(x)\,dx\right| \le \frac14 \max_{x\in[0,1]}|f'(x)|\]
但若没有对函数\(f\)的零点作限制，该不等式一般不成立（例如取\(f(x)=1\)，左边为1，右边为0）。因此需要补充合理条件。常见的一种条件是\(f(0)=f(1)=0\)，在此条件下可以推出系数\(\frac14\)。
公式：\left|\int_0^1 f(x)\,dx\right| \le \frac14 \max_{x\in[0,1]}|f'(x)|
提示：注意：题目未明确给出条件，但根据结论形式，通常需要假设\(f\)在端点处为零，否则结论不成立。
步骤 2/5
目标：利用端点条件得到两种积分表示
由\(f(0)=0\)，根据牛顿-莱布尼茨公式：
\[f(x) = \int_0^x f'(t)\, dt\]
由\(f(1)=0\)，同样有：
\[f(x) = -\int_x^1 f'(t)\, dt\]
将这两个表达式分别代入积分\(I = \int_0^1 f(x)\,dx\)中，得到两种表示。
公式：f(x) = \int_0^x f'(t)\, dt = -\int_x^1 f'(t)\, dt
提示：注意符号：由\(f(1)=0\)推导时，\(f(x) = f(x)-f(1) = -\int_x^1 f'(t)\, dt\)。
步骤 3/5
目标：交换积分次序得到两个表达式
对于第一个表示：
\[I = \int_0^1 \left(\int_0^x f'(t)\, dt\right) dx\]
积分区域\(0 \le t \le x \le 1\)，交换次序得：
\[I = \int_0^1 f'(t) (1-t)\, dt\]
对于第二个表示：
\[I = -\int_0^1 \left(\int_x^1 f'(t)\, dt\right) dx\]
积分区域\(0 \le x \le t \le 1\)，交换次序得：
\[I = -\int_0^1 t f'(t)\, dt\]
公式：I = \int_0^1 (1-t) f'(t)\, dt = -\int_0^1 t f'(t)\, dt
提示：交换积分次序时，注意积分限的变化，以及符号的处理。
步骤 4/5
目标：将两个表达式平均以优化系数
将上面两个表达式相加后除以2：
\[I = \frac12 \int_0^1 [(1-t) - t] f'(t)\, dt = \frac12 \int_0^1 (1-2t) f'(t)\, dt\]
取绝对值并放大：
\[|I| \le \frac12 \max_{t\in[0,1]}|f'(t)| \int_0^1 |1-2t|\, dt\]
公式：I = \frac12 \int_0^1 (1-2t) f'(t)\, dt
提示：平均的目的是让被积函数出现\((1-2t)\)，其绝对值积分更小，从而得到更优的系数。
步骤 5/5
目标：计算绝对值积分并得出结论
计算\(\int_0^1 |1-2t|\, dt\)：
当\(t \in [0, \frac12]\)时，\(1-2t \ge 0\)；当\(t \in [\frac12, 1]\)时，\(1-2t \le 0\)，绝对值为\(2t-1\)。
\[\int_0^1 |1-2t|\, dt = \int_0^{1/2} (1-2t)\, dt + \int_{1/2}^1 (2t-1)\, dt\]
第一部分：\(\left[t - t^2\right]_{0}^{1/2} = \frac12 - \frac14 = \frac14\)
第二部分：\(\left[t^2 - t\right]_{1/2}^{1} = (1-1) - (\frac14 - \frac12) = \frac14\)
总和为\(\frac12\)。
代入得：
\[|I| \le \frac12 \max|f'| \cdot \frac12 = \frac14 \max|f'|\]
不等式得证。
公式：\int_0^1 |1-2t|\, dt = \frac12
提示：计算分段积分时，注意分段点\(t=1/2\)，以及原函数代入上下限时的准确性。
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