苏州大学 2023年数学分析第3题

对于隐函数 $F(x,y)=0$，要求 $y$ 关于 $x$ 的极值，通常利用隐函数求导法，先求一阶导数，令其为零得到可能的极值点，再通过二阶导数或其它方法判断极大极小。这里设 $F(x,y) = (x^2+y^2)^2 - x^2 + y^2 = 0$。

对 $F(x,y)=0$ 两边关于 $x$ 求导，得 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot y' = 0$。计算偏导数：$\frac{\partial F}{\partial x} = 4x(x^2+y^2) - 2x$，$\frac{\partial F}{\partial y} = 4y(x^2+y^2) + 2y$。代入得 $[4x(x^2+y^2) - 2x] + [4y(x^2+y^2) + 2y] y' = 0$，整理得 $y' = -\frac{x[2(x^2+y^2)-1]}{y[2(x^2+y^2)+1]}$。

极值必要条件 $y' = 0$，即分子为零且分母不为零：$x[2(x^2+y^2)-1] = 0$。因此有两种情况：1. $x = 0$；2. $2(x^2+y^2)-1 = 0$，即 $x^2+y^2 = \frac12$。分别代入原方程求解。

情况1：$x=0$，代入原方程得 $y^4 + y^2 = 0$，解得 $y=0$。此时分母 $y[2(x^2+y^2)+1]=0$，需单独判断。情况2：$x^2+y^2 = \frac12$，代入原方程得 $\frac14 - x^2 + y^2 = 0$，即 $y^2 - x^2 = -\frac14$。与 $x^2+y^2 = \frac12$ 联立，解得 $x^2 = \frac38$，$y^2 = \frac18$，得到四个点：$(\pm\sqrt{\frac38},\ \pm\sqrt{\frac18})$。这些点分母不为零，是正常候选点。

对于 $x=0,y=0$，原方程化为极坐标 $r^2 = \cos 2\theta$，原点处曲线自交，不是通常的极值点，排除。对于四个点 $(\pm\sqrt{\frac38},\ \pm\sqrt{\frac18})$，由双纽线的对称性，当 $x$ 从0增大时，$y$ 先上升后下降，因此 $y = \sqrt{\frac18}$ 为极大值，$y = -\sqrt{\frac18}$ 为极小值。化简得极大值 $y = \frac{\sqrt{2}}{4}$，极小值 $y = -\frac{\sqrt{2}}{4}$，对应 $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$。