苏州大学 2023年数学分析第5题
📝 题目
5．（15 分）求球体 $\displaystyle (x-2)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2} \leq 12$ 在平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 上方的球缺体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定球心和半径
球体方程为 $(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2 \leq 12$，因此球心坐标为 $(2,2,2)$，半径 $R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
公式：$R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
提示：注意球心坐标从方程中直接读出，半径是右边常数的平方根。
步骤 2/5
目标：计算球心到平面的距离
平面方程为 $x+y+z=3$，化为一般式 $x+y+z-3=0$。球心 $(2,2,2)$ 到平面的距离为：
\[ d = \frac{|2+2+2-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \]
由于 $d = \sqrt{3} < R = 2\sqrt{3}$，所以平面与球体相交，形成球缺。
公式：$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
提示：注意分子取绝对值，分母是法向量的模长。
步骤 3/5
目标：确定球缺的高度
球心在平面上方（因为 $2+2+2=6>3$），所以球缺是平面上方的部分。球缺高度 $h$ 为从平面到球顶的垂直距离，即 $h = R - d = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$。
公式：$h = R - d$
提示：当球心在平面下方时，球缺高度为 $R + d$，注意区分。
步骤 4/5
目标：应用球缺体积公式
球缺体积公式为 $V = \pi h^2 \left( R - \frac{h}{3} \right)$。代入 $h = \sqrt{3}$，$R = 2\sqrt{3}$：
\[ V = \pi (\sqrt{3})^2 \left( 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \pi \cdot 3 \cdot \left( \frac{6\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} \right) = 3\pi \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = 5\pi\sqrt{3}. \]
公式：$V = \pi h^2 \left( R - \frac{h}{3} \right)$
提示：计算时注意化简分数，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：验证结果的合理性
整个球体积为 $\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (2\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 24\sqrt{3} = 32\pi\sqrt{3}$。球缺体积 $5\pi\sqrt{3}$ 小于半球体积 $16\pi\sqrt{3}$，符合 $h < R$ 的情况，结果合理。
公式：$V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi R^3$
提示：通过整体体积对比可以检验结果是否在合理范围内。
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