苏州大学 2023年数学分析第7题
📝 题目
7．（15 分）设 $\displaystyle p>0$ ，讨论反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性与绝对收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析被积函数的振荡性，将其分解为易于处理的形式
利用三角恒等式：
\[
\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) = \sin x \cos\frac{1}{x} + \cos x \sin\frac{1}{x}
\]
当 $x\to +\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$，有展开式：
\[
\cos\frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^4}\right), \quad \sin\frac{1}{x} = \frac{1}{x} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)
\]
代入得：
\[
\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) = \sin x + \frac{\cos x}{x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]
因此原积分可分解为：
\[
\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p}\,dx + \int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p+1}}\,dx + \text{余项（$O(1/x^{p+2})$，绝对收敛）}
\]
公式：\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) = \sin x + \frac{\cos x}{x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)
提示：注意展开时保留足够高阶的项，确保余项积分绝对收敛。
步骤 2/6
目标：判断第一个积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p}\,dx$ 的收敛性
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p}\,dx$，其中 $p>0$。函数 $\frac{1}{x^p}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且趋于 $0$，而 $\sin x$ 的原函数 $-\cos x$ 有界（$|\cos x|\le 1$）。由 Dirichlet 判别法，该积分对任意 $p>0$ 收敛（条件收敛）。
公式：\text{Dirichlet判别法：} \int_a^{+\infty} f(x)g(x)\,dx \text{ 收敛，若 } \int_a^X f(x)\,dx \text{ 有界，} g(x) \text{ 单调趋于 }0
提示：Dirichlet判别法要求 $g(x)$ 单调，这里 $1/x^p$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减。
步骤 3/6
目标：判断第二个积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p+1}}\,dx$ 的收敛性
由于 $|\cos x|\le 1$，有 $\left|\frac{\cos x}{x^{p+1}}\right| \le \frac{1}{x^{p+1}}$。而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{p+1}}\,dx$ 当 $p+1>1$ 即 $p>0$ 时收敛，因此该积分绝对收敛。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{p+1}}\,dx \text{ 收敛当且仅当 } p+1>1 \Leftrightarrow p>0
提示：绝对收敛蕴含收敛，这里直接利用比较判别法。
步骤 4/6
目标：综合判断原积分的收敛性（条件收敛）
第一个积分对任意 $p>0$ 条件收敛，第二个积分和余项对任意 $p>0$ 绝对收敛。因此原积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(x+1/x)}{x^p}\,dx$ 对任意 $p>0$ 收敛（条件收敛）。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{\sin(x+1/x)}{x^p}\,dx \text{ 收敛于 } p>0
提示：注意条件收敛是指积分收敛但不绝对收敛，这里 $p\le 1$ 时即为条件收敛。
步骤 5/6
目标：判断绝对收敛性：分析 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin(x+1/x)|}{x^p}\,dx$
当 $x$ 很大时，$\sin(x+1/x)$ 的振荡行为与 $\sin x$ 类似，其绝对值在一个周期上的平均值为 $\frac{2}{\pi}$。因此存在常数 $C>0$，使得对充分大的 $X$，有 $\int_1^X |\sin(x+1/x)|\,dx \sim \frac{2}{\pi}X$。于是被积函数的行为相当于 $\frac{2/\pi}{x^p}$。由比较判别法，$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx$ 收敛当且仅当 $p>1$，故原积分绝对收敛当且仅当 $p>1$。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{|\sin(x+1/x)|}{x^p}\,dx \text{ 收敛 } \Leftrightarrow p>1
提示：严格证明需用第二积分中值定理或 Dirichlet 判别法处理绝对值，但平均思想可快速判断。
步骤 6/6
目标：给出最终结论
综合以上分析：
- 对任意 $p>0$，原反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(x+1/x)}{x^p}\,dx$ 收敛（条件收敛）。
- 绝对收敛当且仅当 $p>1$。
公式：\text{收敛：} p>0; \quad \text{绝对收敛：} p>1
提示：注意区分条件收敛与绝对收敛，$p\in(0,1]$ 时积分条件收敛但不绝对收敛。
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