苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{x^{3}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并选择方法
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin x - \arctan x \to 0$，分母 $x^3 \to 0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于分子涉及三角函数和反三角函数，使用泰勒展开（麦克劳林展开）是直接且有效的方法。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \arctan x}{x^3} \quad \text{为 } \frac{0}{0} \text{ 型}
提示：注意验证是否为0/0型，否则不能直接使用泰勒展开。
步骤 2/5
目标：写出 sin x 的麦克劳林展开式
将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开到 $x^3$ 项（更高阶项用 $O(x^5)$ 表示）：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$
公式：\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：注意阶乘的正确计算：$3! = 6$，不要写成 $3! = 3$。
步骤 3/5
目标：写出 arctan x 的麦克劳林展开式
将 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处展开到 $x^3$ 项：
$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$$
公式：\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)
提示：注意 $\arctan x$ 的展开式中 $x^3$ 系数是 $-\frac{1}{3}$，而不是 $-\frac{1}{6}$。
步骤 4/5
目标：代入分子并化简
将两个展开式代入分子：
$$\sin x - \arctan x = \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right) - \left( x - \frac{x^3}{3} + O(x^5) \right)$$
$x$ 项抵消，合并 $x^3$ 项：
$$= -\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{3} + O(x^5) = \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right) x^3 + O(x^5) = \frac{1}{6} x^3 + O(x^5)$$
公式：\sin x - \arctan x = \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：计算系数时注意通分：$-\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$，不要算错。
步骤 5/5
目标：代入原极限并求值
将化简后的分子代入极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{6} + \frac{O(x^5)}{x^3} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{6} + O(x^2) \right)$$
当 $x \to 0$ 时，$O(x^2) \to 0$，因此极限值为 $\frac{1}{6}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \arctan x}{x^3} = \frac{1}{6}
提示：注意 $O(x^5)/x^3 = O(x^2)$，当 $x \to 0$ 时趋于0，不要忽略高阶无穷小的处理。
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