📝 苏州大学 2024年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{x^{3}}$ ．

2．设 $f(x)=x^{3} \cos x$ ，求 $f^{(2023)}(0)$ ．

七．（10 分）证明不等式： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 ; \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续．

九．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上无界的连续函数．问： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否发散？给出证明或反例．

二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}=1$ ，且当 $\displaystyle n \geq 2$ 时，$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}}\right)$ ．证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．

五．（15分）设 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 的所有二阶偏导数都连续，$\displaystyle v=f(x(s, t, r), y(s, t, r), z(s, t, r))$ ，其中

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(s, t, r)=\frac{1}{9}(a x+4 t+8 r) \\
y(s, t, r)=\frac{1}{9}(4 s+b t-4 r) \\
z(s, t, r)=\frac{1}{9}(8 s-4 t+c r)
\end{array}\right.
$$

试讨论是否存在常数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得当 $\displaystyle x=x(s, t, r), y=y(s, t, r), z=z(s, t, r)$ 时，总成立

$$
\left.\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)\right|_{(x, y, z)}=\left.\left(v_{s s}+v_{t t}+v_{r r}\right)\right|_{s, t, r} .
$$

若存在，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．

八．（10 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，并存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(c)>c^{2}$ ．证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<2$ ．

六．（10 分）设 $\displaystyle u(x, y, z)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}$ ，求在原点处函数 $u$ 增长最快的方向．

十．（10 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $f$ ．证明：
（1）$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle F(x)$ ，其中 $\displaystyle F_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．

十一．（10 分）设 $u$ 是平面开区域 $D$ 上的二元函数，且所有的偏导数连续．证明：$u$ 是 $D$ 上的调和函数，即在 $D$ 上 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 \Longleftrightarrow$ 对 $D$ 内任意圆周 $L$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n}=0$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u$ 在 $L$ 上的外法向导数．

十二．（10 分）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0, \pi)$ ，使得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \xi}{n \ln ^{2}(n+2)}=0$ ．

四．（15 分）计算三重积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}| | x|+|y|+|z| \leq 1\}\right.$ ．