苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）计算三重积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}| | x|+|y|+|z| \leq 1\}\right.$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解积分区域并展开被积函数
积分区域 $\Omega = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid |x|+|y|+|z| \le 1 \}$ 是一个中心在原点的正八面体，顶点为 $(\pm1,0,0)$、$(0,\pm1,0)$、$(0,0,\pm1)$。将被积函数展开：$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$。因此原积分可拆分为：
$$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV + 2\iiint_\Omega (xy+yz+zx)\,dV$$
公式：(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)
提示：注意展开时不要遗漏交叉项系数2。
步骤 2/5
目标：利用对称性简化积分
由于区域关于坐标平面对称，且 $xy$、$yz$、$zx$ 在对称区域上为奇函数（例如对 $x$ 变号时 $xy$ 变号），因此 $\iiint_\Omega xy\,dV = \iiint_\Omega yz\,dV = \iiint_\Omega zx\,dV = 0$。故第二项为零。又由对称性，$\iiint_\Omega x^2\,dV = \iiint_\Omega y^2\,dV = \iiint_\Omega z^2\,dV$，所以：
$$I = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = 3\iiint_\Omega x^2\,dV$$
公式：I = 3\iiint_\Omega x^2\,dV
提示：对称性使用前提：区域关于坐标平面对称，且被积函数具有相应的奇偶性。
步骤 3/5
目标：用截面法计算 $\iiint_\Omega x^2\,dV$
固定 $x$，由 $|x|+|y|+|z| \le 1$ 得 $|y|+|z| \le 1-|x|$。该截面为菱形，面积为 $2(1-|x|)^2$。因此：
$$\iiint_\Omega x^2\,dV = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot 2(1-|x|)^2\,dx$$
由于被积函数为偶函数，化简为：
$$= 4\int_0^1 x^2 (1-x)^2\,dx$$
公式：\iiint_\Omega x^2\,dV = 4\int_0^1 x^2 (1-x)^2\,dx
提示：截面面积公式：$|y|+|z| \le a$ 的菱形面积为 $2a^2$，注意 $a=1-|x|$。
步骤 4/5
目标：计算定积分
展开被积函数：$x^2(1-x)^2 = x^2(1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x^3 + x^4$。积分：
$$\int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac13 - \frac12 + \frac15$$
通分分母30：$\frac{10}{30} - \frac{15}{30} + \frac{6}{30} = \frac{1}{30}$。因此：
$$\iiint_\Omega x^2\,dV = 4 \cdot \frac{1}{30} = \frac{2}{15}$$
公式：\int_0^1 x^2(1-x)^2\,dx = \frac{1}{30}
提示：注意积分上下限和系数4，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
由 $I = 3\iiint_\Omega x^2\,dV$，代入得：
$$I = 3 \cdot \frac{2}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$
公式：\iiint_\Omega (x+y+z)^2\,dV = \frac{2}{5}
提示：最终结果需化简为最简分数。
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