苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七．（10 分）证明不等式： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义积分并作差
设 $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \, dx$, $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^2} \, dx$。要证明 $I_1 < I_2$，即证明 $I_2 - I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1+x^2} \, dx > 0$。
公式：I_2 - I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1+x^2} \, dx
提示：注意被积函数在区间内符号会变化，不能直接判断正负。
步骤 2/5
目标：对 I1 进行变量替换
在 $I_1$ 中令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $x = \frac{\pi}{2} - t$，$dx = -dt$，当 $x=0$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$，当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $t=0$。于是 $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$，$1+x^2 = 1+(\frac{\pi}{2} - t)^2$。代入得 $I_1 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos t}{1+(\frac{\pi}{2} - t)^2} (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{1+(\frac{\pi}{2} - t)^2} \, dt$。将变量名换回 $x$，得到 $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^2} \, dx$。
公式：I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^2} \, dx
提示：替换后注意积分限的变化和负号的处理。
步骤 3/5
目标：将 I2 与变换后的 I1 作差
现在有 $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^2} \, dx$，$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^2} \, dx$。于是 $I_2 - I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^2} \right) dx$。记 $g(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^2}$。
公式：I_2 - I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, g(x) \, dx
提示：此步骤将问题转化为分析 $g(x)$ 与 $\cos x$ 的乘积在区间上的积分。
步骤 4/5
目标：利用对称性分析 g(x) 的奇偶性
令 $u = x - \frac{\pi}{4}$，则 $x = \frac{\pi}{4} + u$，$\frac{\pi}{2} - x = \frac{\pi}{4} - u$。于是 $g(\frac{\pi}{4}+u) = \frac{1}{1+(\frac{\pi}{4}+u)^2} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{4}-u)^2}$。易见 $g(\frac{\pi}{4}+u)$ 是关于 $u$ 的奇函数，因为交换 $u$ 与 $-u$ 会改变符号。同时 $\cos x = \cos(\frac{\pi}{4}+u) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos u - \sin u)$。积分区间 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 对应 $u \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$。
公式：g(\frac{\pi}{4}+u) \text{ 是奇函数}, \quad \cos(\frac{\pi}{4}+u) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos u - \sin u)
提示：注意 $\cos u$ 是偶函数，$\sin u$ 是奇函数，这对后续积分化简很重要。
步骤 5/5
目标：化简积分并判断符号
将积分变换到 $u$ 变量：$I_2 - I_1 = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(\frac{\pi}{4}+u) \, g(\frac{\pi}{4}+u) \, du = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos u - \sin u) \, g(\frac{\pi}{4}+u) \, du$。由于 $g$ 是奇函数，$\cos u$ 是偶函数，$\sin u$ 是奇函数，则 $\cos u \cdot g$ 是奇函数（偶×奇），在对称区间积分为零；$-\sin u \cdot g$ 是偶函数（奇×奇），积分非零。因此 $I_2 - I_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin u \, g(\frac{\pi}{4}+u) \, du$。当 $u > 0$ 时，$\sin u > 0$，且 $g(\frac{\pi}{4}+u) < 0$（因为 $x > \frac{\pi}{2}-x$ 时 $1+x^2 > 1+(\frac{\pi}{2}-x)^2$，差为负），所以 $-\sin u \cdot g > 0$。被积函数为偶函数，故整个积分大于0，即 $I_2 - I_1 > 0$。
公式：I_2 - I_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin u \, g(\frac{\pi}{4}+u) \, du > 0
提示：判断 $g$ 的符号时，注意 $x$ 与 $\frac{\pi}{2}-x$ 的大小关系决定分母大小。
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