苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f(x)=x^{3} \cos x$ ，求 $f^{(2023)}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：建立泰勒展开与高阶导数的关系
若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可展开为麦克劳林级数 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$，则 $f^{(n)}(0)$ 等于 $n!$ 乘以 $x^n$ 项的系数。因此，我们只需将 $f(x)=x^3\cos x$ 展开，找出 $x^{2023}$ 的系数。
公式：f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
提示：注意：此关系仅在函数可展开为幂级数时成立，本题中 $f(x)$ 是解析函数，满足条件。
步骤 2/8
目标：写出 $\cos x$ 的麦克劳林展开
已知 $\cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$，该级数对所有实数 $x$ 收敛。
公式：\cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
提示：注意余弦展开只含偶次项，且系数分母为 $(2k)!$，不要与正弦展开混淆。
步骤 3/8
目标：乘以 $x^3$ 得到 $f(x)$ 的展开式
将 $x^3$ 乘入 $\cos x$ 的级数：$f(x)=x^3 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k+3}$。
公式：f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k+3}
提示：合并指数时注意 $x^3 \cdot x^{2k} = x^{2k+3}$，不要漏掉指数加法。
步骤 4/8
目标：确定 $x^{2023}$ 项对应的 $k$ 值
令 $2k+3 = 2023$，解得 $2k = 2020$，$k = 1010$。因此 $x^{2023}$ 项来自 $k=1010$ 的项。
公式：2k+3=2023 \Rightarrow k=1010
提示：注意 $k$ 必须是整数，且 $k=1010$ 在求和范围内（$k$ 从 $0$ 到 $\infty$）。
步骤 5/8
目标：提取 $x^{2023}$ 项的系数
当 $k=1010$ 时，项为 $\frac{(-1)^{1010}}{(2\cdot 1010)!} x^{2023} = \frac{1}{2020!} x^{2023}$，因为 $(-1)^{1010}=1$。
公式：\frac{(-1)^{1010}}{2020!} = \frac{1}{2020!}
提示：注意 $(-1)^{1010}=1$，因为指数为偶数；分母 $(2k)!$ 中 $2k=2020$，不要误写为 $2023!$。
步骤 6/8
目标：由系数计算 $f^{(2023)}(0)$
根据泰勒公式，$\frac{f^{(2023)}(0)}{2023!} = \frac{1}{2020!}$，所以 $f^{(2023)}(0) = \frac{2023!}{2020!}$。
公式：f^{(2023)}(0) = \frac{2023!}{2020!}
提示：注意等式两边乘以 $2023!$ 时不要遗漏阶乘符号。
步骤 7/8
目标：化简阶乘比值
计算 $\frac{2023!}{2020!} = 2023 \times 2022 \times 2021$，因为 $2023! = 2023 \times 2022 \times 2021 \times 2020!$。
公式：\frac{2023!}{2020!} = 2023 \times 2022 \times 2021
提示：化简时注意连续整数的个数：从 $2021$ 到 $2023$ 共三个数，不要多乘或少乘。
步骤 8/8
目标：写出最终答案
因此，$f^{(2023)}(0) = 2023 \times 2022 \times 2021$，通常保留为乘积形式。
公式：f^{(2023)}(0) = 2023 \times 2022 \times 2021
提示：最终答案不需要计算具体数值，除非题目要求。
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