苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
十二．（10 分）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0, \pi)$ ，使得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \xi}{n \ln ^{2}(n+2)}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析级数的收敛性与连续性
考虑函数 \( S(\xi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n\xi)}{n \ln^{2}(n+2)} \)。由于对任意 \( \xi \)，有 \( \left| \frac{\cos(n\xi)}{n \ln^{2}(n+2)} \right| \leq \frac{1}{n \ln^{2}(n+2)} \)，而级数 \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^{2} n} \) 收敛（由积分判别法），因此原级数在 \( \mathbb{R} \) 上一致收敛。由一致收敛性，\( S(\xi) \) 是 \( \mathbb{R} \) 上的连续函数。
公式：\left| \frac{\cos(n\xi)}{n \ln^{2}(n+2)} \right| \leq \frac{1}{n \ln^{2}(n+2)}
提示：注意控制级数的收敛性，确保一致收敛的条件成立。
步骤 2/5
目标：计算 S(0) 并判断符号
当 \( \xi = 0 \) 时，\( \cos(n \cdot 0) = 1 \)，所以 \( S(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln^{2}(n+2)} \)。由于每一项都是正数，且级数收敛，故 \( S(0) > 0 \)。
公式：S(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln^{2}(n+2)} > 0
提示：正项级数的和必为正数。
步骤 3/5
目标：计算 S(π) 并判断符号
当 \( \xi = \pi \) 时，\( \cos(n\pi) = (-1)^n \)，所以 \( S(\pi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln^{2}(n+2)} \)。这是一个交错级数，首项 \( n=1 \) 时为 \( \frac{-1}{1 \cdot \ln^{2}3} < 0 \)。由于 \( \frac{1}{n \ln^{2}(n+2)} \) 单调递减趋于 0，由莱布尼茨判别法，级数收敛且其和与首项同号，故 \( S(\pi) < 0 \)。
公式：S(\pi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln^{2}(n+2)} < 0
提示：交错级数的和符号由第一项决定，前提是绝对值单调递减趋于0。
步骤 4/5
目标：应用介值定理得到存在性
函数 \( S(\xi) \) 在闭区间 \( [0, \pi] \) 上连续，且 \( S(0) > 0 \)，\( S(\pi) < 0 \)。由连续函数的介值定理，存在 \( \xi \in (0, \pi) \) 使得 \( S(\xi) = 0 \)。
公式：\exists \xi \in (0, \pi), \; S(\xi) = 0
提示：介值定理要求函数在闭区间上连续，且端点函数值异号。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在 \( \xi \in (0, \pi) \) 使得 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \xi}{n \ln^{2}(n+2)} = 0 \)，命题得证。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \xi}{n \ln^{2}(n+2)} = 0
提示：无需具体求出ξ，仅需证明存在性。
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