苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
十．（10 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $f$ ．证明：
（1）$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle F(x)$ ，其中 $\displaystyle F_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 f 在 [a,b] 上可积：利用一致收敛性控制误差
对任意给定的 ε > 0，由 f_n 在 [a,b] 上一致收敛于 f，存在 N 使得当 n ≥ N 时，对一切 x ∈ [a,b] 有 |f_n(x) - f(x)| < ε / [3(b-a)]。
公式：|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3(b-a)}
提示：注意一致收敛中 N 的选取依赖于 ε，但不依赖于 x。
步骤 2/5
目标：利用 f_N 的可积性构造分割
因为 f_N 在 [a,b] 上黎曼可积，由达布准则，存在分割 P: a = x_0 < x_1 < ... < x_m = b，使得其达布上和与下和之差 U(f_N, P) - L(f_N, P) < ε/3。
公式：U(f_N, P) - L(f_N, P) < \frac{\varepsilon}{3}
提示：分割 P 的选取依赖于 f_N 和 ε，但后续估计对同一分割进行。
步骤 3/5
目标：估计 f 的达布和之差
对同一分割 P 的每个子区间 [x_{i-1}, x_i]，由一致逼近得 sup f ≤ sup f_N + ε/[3(b-a)]，inf f ≥ inf f_N - ε/[3(b-a)]。因此 U(f,P) - L(f,P) ≤ U(f_N,P) - L(f_N,P) + [2ε/(3(b-a))]·(b-a) < ε/3 + 2ε/3 = ε。由达布准则，f 在 [a,b] 上可积。
公式：U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon
提示：注意区间长度求和时 (b-a) 会抵消分母，确保最终差小于 ε。
步骤 4/5
目标：证明 F_n(x) 一致收敛到 F(x)：建立差值的积分估计
对任意 x ∈ [a,b]，有 |F_n(x) - F(x)| = |∫_a^x (f_n(t)-f(t)) dt| ≤ ∫_a^x |f_n(t)-f(t)| dt。
公式：|F_n(x) - F(x)| \leq \int_a^x |f_n(t)-f(t)|\, dt
提示：注意积分上限 x 是变量，需后续用一致收敛性得到与 x 无关的上界。
步骤 5/5
目标：利用一致收敛性得到一致收敛
由 f_n 一致收敛于 f，对任意 ε>0，存在 N 使得当 n≥N 时，对所有 t∈[a,b] 有 |f_n(t)-f(t)| < ε/(b-a)。于是 |F_n(x)-F(x)| ≤ ∫_a^x [ε/(b-a)] dt ≤ [ε/(b-a)]·(x-a) ≤ ε。该上界与 x 无关，故 F_n 在 [a,b] 上一致收敛于 F。
公式：|F_n(x)-F(x)| \leq \varepsilon
提示：注意积分区间长度不超过 b-a，因此上界可统一为 ε。
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