苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
十一．（10 分）设 $u$ 是平面开区域 $D$ 上的二元函数，且所有的偏导数连续．证明：$u$ 是 $D$ 上的调和函数，即在 $D$ 上 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 \Longleftrightarrow$ 对 $D$ 内任意圆周 $L$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n}=0$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u$ 在 $L$ 上的外法向导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解外法向导数的含义
对于平面上的圆周 $L$，其外法向单位向量记为 $\mathbf{n}$，则 $u$ 沿外法向的方向导数定义为 $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$，其中 $\nabla u = (u_x, u_y)$。
公式：\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}
提示：注意外法向是垂直于曲线指向外部的单位向量，与切向垂直。
步骤 2/5
目标：利用格林公式将曲线积分转化为二重积分
设圆周 $L$ 围成的区域为 $S$（圆盘）。格林公式（散度定理的二维形式）指出：对向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$，有 $\oint_L \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds = \iint_S \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dx\,dy$。取 $\mathbf{F} = \nabla u = (u_x, u_y)$，则 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac{\partial u}{\partial n}$，且 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$。于是得到：
公式：\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = \iint_S \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) dx\,dy
提示：格林公式中法向量的方向必须与区域外法向一致，这里已满足。
步骤 3/5
目标：证明充分性：若 $u$ 是调和函数，则对任意圆周 $L$ 有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n}=0$
假设 $u$ 在 $D$ 上是调和的，即对 $D$ 内每一点都有 $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \equiv 0$。对于 $D$ 内任意圆周 $L$，其内部区域 $S$ 完全包含于 $D$，因此在 $S$ 上 $\Delta u \equiv 0$。代入格林公式所得等式，右端二重积分为零，故左端曲线积分也为零。
公式：\iint_S \Delta u \, dx\,dy = 0 \Rightarrow \oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0
提示：注意圆周必须完全位于 $D$ 内部，以保证 $S \subset D$。
步骤 4/5
目标：证明必要性：若对任意圆周 $L$ 有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n}=0$，则 $u$ 是调和函数
假设对 $D$ 内任意圆周 $L$ 都有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0$。任取一点 $P \in D$，取以 $P$ 为圆心、半径 $r>0$ 足够小的圆盘 $S_r$，使其完全包含于 $D$，对应的圆周为 $L_r$。由格林公式得 $\iint_{S_r} \Delta u \, dx\,dy = 0$。由于 $\Delta u$ 连续，且这对任意小的 $r>0$ 都成立，由连续函数的性质可知在 $P$ 点必有 $\Delta u(P)=0$（否则若 $\Delta u(P)>0$，由连续性存在邻域内恒正，积分不为零，矛盾）。由 $P$ 的任意性，$\Delta u \equiv 0$ 在 $D$ 上成立，即 $u$ 是调和函数。
公式：\forall P \in D, \forall r>0 \text{ 充分小}, \iint_{S_r} \Delta u \, dx\,dy = 0 \Rightarrow \Delta u(P)=0
提示：关键步骤是利用连续函数的局部保号性：若连续函数在某点非零，则在该点的小邻域内保持同号，积分不可能为零。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上两步，我们证明了：$u$ 是 $D$ 上的调和函数当且仅当对 $D$ 内任意圆周 $L$，有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0$。
公式：\Delta u \equiv 0 \Longleftrightarrow \forall L \subset D, \oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0
提示：该等价关系是调和函数的一个重要性质，反映了调和函数的积分平均值性质与散度定理的联系。
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