苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}=1$ ，且当 $\displaystyle n \geq 2$ 时，$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}}\right)$ ．证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：猜测极限值
假设数列收敛于正数 $L$，对递推式 $a_n = \frac{1}{2}\left(a_{n-1} + \frac{5}{a_{n-1}}\right)$ 两边取极限，得 $L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{5}{L}\right)$。解方程：$2L = L + \frac{5}{L}$，即 $L = \frac{5}{L}$，所以 $L^2 = 5$，由 $a_n > 0$ 得 $L = \sqrt{5}$。
公式：L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{5}{L}\right) \Rightarrow L^2 = 5
提示：取极限时需先假设收敛性，最终需验证收敛性成立。
步骤 2/4
目标：证明数列从第二项起有下界 $\sqrt{5}$
用数学归纳法证明：当 $n=2$ 时，$a_2 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{5}{1}\right) = 3 > \sqrt{5}$。假设 $a_k \ge \sqrt{5}$，则由均值不等式，$a_{k+1} = \frac{1}{2}\left(a_k + \frac{5}{a_k}\right) \ge \sqrt{a_k \cdot \frac{5}{a_k}} = \sqrt{5}$。故对 $n \ge 2$，有 $a_n \ge \sqrt{5}$。
公式：\frac{a_k + \frac{5}{a_k}}{2} \ge \sqrt{a_k \cdot \frac{5}{a_k}} = \sqrt{5}
提示：注意 $a_1=1 < \sqrt{5}$，下界从第二项开始成立，不影响单调性证明。
步骤 3/4
目标：证明数列从第二项起单调递减
考虑相邻项差：$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{5}{a_n}\right) - a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{a_n} - a_n\right) = \frac{5 - a_n^2}{2a_n}$。当 $n \ge 2$ 时，$a_n \ge \sqrt{5}$，故 $a_n^2 \ge 5$，分子 $5 - a_n^2 \le 0$，分母 $2a_n > 0$，因此 $a_{n+1} - a_n \le 0$，即 $a_{n+1} \le a_n$。
公式：a_{n+1} - a_n = \frac{5 - a_n^2}{2a_n} \le 0
提示：单调递减的证明依赖于已证的下界 $a_n \ge \sqrt{5}$。
步骤 4/4
目标：利用单调有界定理证明收敛并求极限
数列 $\{a_n\}$ 从第2项起单调递减且有下界 $\sqrt{5}$，由单调有界定理知数列收敛。设极限为 $L$，由第一步的方程解得 $L = \sqrt{5}$（舍去负值）。因此 $\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{5}$。
公式：\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{5}
提示：单调有界定理是证明数列收敛的常用方法，注意验证单调性和有界性。
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