苏州大学 2024年数学分析第0题

函数 $f(x)$ 定义为：当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{\sin x}{x}$；当 $x = 0$ 时，$f(0) = 1$。由于 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，从而 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

当 $|x| \geq 1$ 时，有 $|f(x)| = \left| \frac{\sin x}{x} \right| \leq \frac{1}{|x|}$。因此，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $M = \frac{2}{\varepsilon}$，则当 $|x| > M$ 时，$|f(x)| \leq \frac{1}{|x|} < \frac{1}{M} = \frac{\varepsilon}{2}$。

考虑闭区间 $[-M-1, M+1]$，由于 $f(x)$ 在此区间上连续，由Cantor定理知 $f(x)$ 在 $[-M-1, M+1]$ 上一致连续。因此存在 $\delta_1 > 0$，使得对该区间内任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta_1$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

取 $\delta = \min\{\delta_1, 1\}$。任取 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ 满足 $|x_1 - x_2| < \delta$，分情况讨论： - **情况1**：$x_1, x_2 \in [-M-1, M+1]$，则由 $\delta_1$ 的一致连续性得 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。 - **情况2**：$x_1, x_2$ 至少有一个在 $[-M-1, M+1]$ 之外。由于 $|x_1 - x_2| < 1$，若 $x_1 > M+1$，则 $x_2 > M$，从而 $|f(x_1)| < \frac{\varepsilon}{2}$，$|f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2}$，故 $|f(x_1)-f(x_2)| \leq |f(x_1)| + |f(x_2)| < \varepsilon$。同理，若两者都小于 $-M$，结论也成立。 - 若一个在区间内，另一个在区间外但距离小于1，则两者实际上都落在 $[-M-1, M+1]$ 内（因为区间边界多取了1的余量），故情况1已覆盖。

对任意 $\varepsilon > 0$，我们找到了 $\delta = \min\{\delta_1, 1\}$，使得对任意 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。因此，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上一致连续。