苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八．（10 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，并存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(c)>c^{2}$ ．证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<2$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析题目条件，构造辅助函数
已知 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(0)=0, f(1)=1$，且存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f(c) > c^2$。要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f''(\xi) < 2$。构造辅助函数 $g(x) = f(x) - x^2$，则 $g$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $g(0)=0, g(1)=0$，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $g(c) > 0$。原结论 $f''(\xi) < 2$ 等价于 $g''(\xi) < 0$。
公式：g(x) = f(x) - x^2, \quad g''(x) = f''(x) - 2
提示：构造辅助函数是处理不等式问题的常用技巧，注意将目标不等式转化为辅助函数的二阶导符号问题。
步骤 2/4
目标：使用反证法，假设结论不成立
假设对任意 $x \in (0,1)$，都有 $g''(x) \ge 0$。这意味着 $g$ 在 $[0,1]$ 上是凸函数（二阶导非负）。
公式：\forall x \in (0,1), \; g''(x) \ge 0 \Rightarrow g \text{ 是凸函数}
提示：反证法是处理存在性问题的常用方法，注意凸函数的定义：二阶导非负是凸函数的充分条件。
步骤 3/4
目标：利用凸函数性质导出矛盾
若 $g$ 是凸函数，且 $g(0)=g(1)=0$，则对任意 $t \in [0,1]$，由凸函数性质有 $g(t) = g((1-t)\cdot 0 + t \cdot 1) \le (1-t)g(0) + t g(1) = 0$。即 $g(t) \le 0$ 对所有 $t \in [0,1]$ 成立。但已知存在 $c \in (0,1)$ 使得 $g(c) > 0$，这与凸函数性质矛盾。
公式：g(t) \le (1-t)g(0) + t g(1) = 0, \quad \forall t \in [0,1]
提示：凸函数在区间端点值相等时，中间点的函数值不超过端点值的线性组合，这是凸函数的基本性质。
步骤 4/4
目标：否定假设，得出结论
由于假设导致矛盾，因此假设不成立。即存在至少一点 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g''(\xi) < 0$。由 $g''(\xi) = f''(\xi) - 2$ 可得 $f''(\xi) < 2$。证明完成。
公式：\exists \xi \in (0,1), \; g''(\xi) < 0 \Rightarrow f''(\xi) < 2
提示：注意反证法结论的表述：否定假设后得到存在性结论，不要遗漏存在性量词。
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