苏州大学 2024年数学分析第0题

题目给出函数 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且无界，问反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 是否一定发散。无界意味着对任意 $M>0$，存在 $x\in[0,+\infty)$ 使得 $|f(x)|>M$，但无界并不保证 $f$ 在无穷远处趋于无穷，也不保证积分发散。反常积分收敛要求极限 $\lim_{b\to+\infty}\int_0^b f(x)\,dx$ 存在且有限。因此需要判断命题的真伪。

直觉上，如果无界是由一些很窄但很高的尖峰造成的，每个尖峰的面积可能很小，总和可能收敛。因此可以构造一个连续函数，它在每个正整数 $n$ 附近有一个高度为 $n$、底宽很小的三角形尖峰，使得每个尖峰的面积是 $\frac{1}{2}\cdot \text{底}\cdot \text{高}$，通过选择底宽为 $1/n^3$，则面积为 $\frac{1}{2n^2}$，级数 $\sum \frac{1}{2n^2}$ 收敛。

定义函数 $f(x)$ 如下：对于每个正整数 $n$，在区间 $[n-\frac{1}{2n^3},\, n+\frac{1}{2n^3}]$ 上，$f(x)$ 为等腰三角形，顶点在 $(n,n)$，底边在 $x$ 轴上，即 \[ f(x)=\begin{cases} n-2n^3|x-n|, & |x-n|\le \frac{1}{2n^3},\\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \] 该函数在 $[0,+\infty)$ 上连续（每个三角形连续，且与零函数平滑连接），且 $f(n)=n$，故无界。

每个三角形尖峰的面积为 $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^3}\cdot n = \frac{1}{2n^2}$。因此反常积分为 \[ \int_0^{+\infty} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12}, \] 这是一个有限数，故积分收敛。

上述反例表明，存在 $[0,+\infty)$ 上无界的连续函数，其反常积分收敛。因此原命题“$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 一定发散”是错误的，即不一定发散。