苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六．（10 分）设 $\displaystyle u(x, y, z)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}$ ，求在原点处函数 $u$ 增长最快的方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算梯度向量的一般形式
函数 $u(x,y,z)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}$，分别对 $x$、$y$、$z$ 求偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x}=x$，
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2y}{3}$，
$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{z}{2}$。
因此梯度向量为 $\nabla u = \left( x,\ \frac{2y}{3},\ \frac{z}{2} \right)$。
公式：\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \left( x,\ \frac{2y}{3},\ \frac{z}{2} \right)
提示：注意偏导数的计算要准确，特别是系数不要遗漏。
步骤 2/4
目标：代入原点坐标求梯度值
将点 $(0,0,0)$ 代入梯度向量：
$\nabla u(0,0,0) = \left( 0,\ \frac{2\cdot 0}{3},\ \frac{0}{2} \right) = (0,0,0)$。
公式：\nabla u(0,0,0) = (0,0,0)
提示：代入时注意每个分量都为零。
步骤 3/4
目标：分析梯度为零向量的意义
梯度为零向量表明原点为函数的临界点（驻点）。在该点处，沿任何方向的方向导数均为零，即函数在该点不沿任何方向增长（也不下降）。因此，不存在“增长最快”的方向。
公式：D_{\mathbf{v}} u(0,0,0) = \nabla u(0,0,0) \cdot \mathbf{v} = 0 \quad \text{对任意单位向量 } \mathbf{v}
提示：不要误以为梯度为零时仍有某个方向增长最快；实际上所有方向的变化率都为零。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于梯度为零向量，函数在原点处没有增长最快的方向。
公式：\text{结论：不存在增长最快的方向}
提示：若题目要求写出方向，应回答“无”或“不存在”。
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