苏州大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
五．（15分）设 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 的所有二阶偏导数都连续，$\displaystyle v=f(x(s, t, r), y(s, t, r), z(s, t, r))$ ，其中
$$
\left\{\begin{array}{l}
x(s, t, r)=\frac{1}{9}(a x+4 t+8 r) \\
y(s, t, r)=\frac{1}{9}(4 s+b t-4 r) \\
z(s, t, r)=\frac{1}{9}(8 s-4 t+c r)
\end{array}\right.
$$
试讨论是否存在常数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得当 $\displaystyle x=x(s, t, r), y=y(s, t, r), z=z(s, t, r)$ 时，总成立
$$
\left.\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)\right|_{(x, y, z)}=\left.\left(v_{s s}+v_{t t}+v_{r r}\right)\right|_{s, t, r} .
$$
若存在，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出从 (s,t,r) 到 (x,y,z) 的线性变换及其系数矩阵
由题设：
\[\begin{cases} x = \frac{1}{9}(a s + 4 t + 8 r) \\ y = \frac{1}{9}(4 s + b t - 4 r) \\ z = \frac{1}{9}(8 s - 4 t + c r) \end{cases}\]
该变换的系数矩阵为：
\[M = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} a & 4 & 8 \\ 4 & b & -4 \\ 8 & -4 & c \end{pmatrix}.\]
公式：\[M = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} a & 4 & 8 \\ 4 & b & -4 \\ 8 & -4 & c \end{pmatrix}\]
提示：注意矩阵的行对应 x, y, z，列对应 s, t, r 的系数。
步骤 2/6
目标：利用链式法则计算 v 的一阶和二阶偏导数
由链式法则：
\[v_s = u_x x_s + u_y y_s + u_z z_s,\]
其中 \[x_s = \frac{a}{9},\ y_s = \frac{4}{9},\ z_s = \frac{8}{9}.\]
再对 s 求导得：
\[v_{ss} = (u_{xx}x_s + u_{xy}y_s + u_{xz}z_s)x_s + (u_{yx}x_s + u_{yy}y_s + u_{yz}z_s)y_s + (u_{zx}x_s + u_{zy}y_s + u_{zz}z_s)z_s.\]
由于二阶偏导连续，混合偏导可交换次序，故可写成二次型：
\[v_{ss} = \begin{pmatrix} x_s & y_s & z_s \end{pmatrix} H_u \begin{pmatrix} x_s \\ y_s \\ z_s \end{pmatrix},\]
其中 \[H_u = \begin{pmatrix} u_{xx} & u_{xy} & u_{xz} \\ u_{xy} & u_{yy} & u_{yz} \\ u_{xz} & u_{yz} & u_{zz} \end{pmatrix}.\]
公式：\[v_{ss} = \mathbf{d}_s^T H_u \mathbf{d}_s,\quad \mathbf{d}_s = \left(\frac{a}{9},\frac{4}{9},\frac{8}{9}\right)^T\]
提示：注意对 t 和 r 的偏导系数向量分别为 \[\mathbf{d}_t = \left(\frac{4}{9},\frac{b}{9},-\frac{4}{9}\right)^T,\quad \mathbf{d}_r = \left(\frac{8}{9},-\frac{4}{9},\frac{c}{9}\right)^T.\]
步骤 3/6
目标：将 v_{ss}+v_{tt}+v_{rr} 表示为三个二次型之和，并利用迹运算化简
类似地：
\[v_{tt} = \mathbf{d}_t^T H_u \mathbf{d}_t,\quad v_{rr} = \mathbf{d}_r^T H_u \mathbf{d}_r.\]
因此：
\[v_{ss}+v_{tt}+v_{rr} = \mathbf{d}_s^T H_u \mathbf{d}_s + \mathbf{d}_t^T H_u \mathbf{d}_t + \mathbf{d}_r^T H_u \mathbf{d}_r.\]
利用迹的性质：
\[\mathbf{d}^T H_u \mathbf{d} = \operatorname{tr}(H_u \mathbf{d} \mathbf{d}^T),\]
故：
\[v_{ss}+v_{tt}+v_{rr} = \operatorname{tr}\left(H_u (\mathbf{d}_s \mathbf{d}_s^T + \mathbf{d}_t \mathbf{d}_t^T + \mathbf{d}_r \mathbf{d}_r^T)\right).\]
公式：\[\sum_{k=s,t,r} \mathbf{d}_k^T H_u \mathbf{d}_k = \operatorname{tr}\left(H_u \sum_{k} \mathbf{d}_k \mathbf{d}_k^T\right)\]
提示：此步将求和转化为矩阵迹，便于与目标形式 u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} = tr(H_u I) 比较。
步骤 4/6
目标：推导出变换保持拉普拉斯算子的条件
目标要求对任意 H_u 有：
\[\operatorname{tr}\left(H_u (\mathbf{d}_s \mathbf{d}_s^T + \mathbf{d}_t \mathbf{d}_t^T + \mathbf{d}_r \mathbf{d}_r^T)\right) = \operatorname{tr}(H_u I).\]
由于 H_u 任意，必须满足：
\[\mathbf{d}_s \mathbf{d}_s^T + \mathbf{d}_t \mathbf{d}_t^T + \mathbf{d}_r \mathbf{d}_r^T = I.\]
公式：\[\mathbf{d}_s \mathbf{d}_s^T + \mathbf{d}_t \mathbf{d}_t^T + \mathbf{d}_r \mathbf{d}_r^T = I\]
提示：这是关键条件，将问题转化为代数方程组。
步骤 5/6
目标：计算三个外积矩阵并求和
计算每个外积（注意分母 81）：
\[\mathbf{d}_s \mathbf{d}_s^T = \frac{1}{81}\begin{pmatrix} a^2 & 4a & 8a \\ 4a & 16 & 32 \\ 8a & 32 & 64 \end{pmatrix},\]
\[\mathbf{d}_t \mathbf{d}_t^T = \frac{1}{81}\begin{pmatrix} 16 & 4b & -16 \\ 4b & b^2 & -4b \\ -16 & -4b & 16 \end{pmatrix},\]
\[\mathbf{d}_r \mathbf{d}_r^T = \frac{1}{81}\begin{pmatrix} 64 & -32 & 8c \\ -32 & 16 & -4c \\ 8c & -4c & c^2 \end{pmatrix}.\]
求和得：
\[\frac{1}{81}\begin{pmatrix} a^2+80 & 4a+4b-32 & 8a+8c-16 \\ 4a+4b-32 & b^2+32 & 32-4b-4c \\ 8a+8c-16 & 32-4b-4c & c^2+80 \end{pmatrix}.\]
公式：\[\sum \mathbf{d}_k \mathbf{d}_k^T = \frac{1}{81}\begin{pmatrix} a^2+80 & 4a+4b-32 & 8a+8c-16 \\ 4a+4b-32 & b^2+32 & 32-4b-4c \\ 8a+8c-16 & 32-4b-4c & c^2+80 \end{pmatrix}\]
提示：注意对称性，只需计算上三角或下三角元素。
步骤 6/6
目标：令矩阵等于单位矩阵，列出方程组并求解
令：
\[\frac{1}{81}\begin{pmatrix} a^2+80 & 4a+4b-32 & 8a+8c-16 \\ 4a+4b-32 & b^2+32 & 32-4b-4c \\ 8a+8c-16 & 32-4b-4c & c^2+80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]
由 (1,1)：\[a^2+80 = 81 \Rightarrow a^2=1 \Rightarrow a = \pm 1.\]
由 (2,2)：\[b^2+32 = 81 \Rightarrow b^2=49 \Rightarrow b = \pm 7.\]
由 (3,3)：\[c^2+80 = 81 \Rightarrow c^2=1 \Rightarrow c = \pm 1.\]
由 (1,2)：\[4a+4b-32 = 0 \Rightarrow a+b=8.\]
由 (1,3)：\[8a+8c-16 = 0 \Rightarrow a+c=2.\]
由 (2,3)：\[32-4b-4c = 0 \Rightarrow b+c=8.\]
解之得：
\[a=1,\ b=7,\ c=1.\]
公式：\[a=1,\ b=7,\ c=1\]
提示：注意 a=-1 时由 a+b=8 得 b=9，但 b^2=81≠49，矛盾，故舍去。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。