苏州大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、已知 $\displaystyle f(x)=\cos \left(x^{p}\right)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续，求 $p$ 的取值范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：回忆一致连续的定义与常用判别法
函数在区间上一致连续意味着：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对区间内任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。对于无穷区间上的函数，一个常见障碍是当自变量趋于无穷时，函数可能振荡得越来越快。常用结论：若函数在区间上有有界导数，则它在该区间上一致连续（利普希茨条件）。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I, |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 不依赖于点的位置。
步骤 2/7
目标：分析 p=0 的情况
当 $p=0$ 时，$x^p = 1$，函数 $f(x) = \cos 1$ 为常数函数，显然在 $(0,+\infty)$ 上一致连续。
公式：$f(x)=\cos 1$
提示：常数函数总是满足一致连续。
步骤 3/7
目标：分析 p>0 的情况：考虑无穷远处的振荡
当 $p>0$ 时，$x\to +\infty$ 时 $x^p\to +\infty$，$\cos(x^p)$ 无限振荡。考虑两点 $x$ 和 $x+h$，当 $h$ 很小时，函数值差近似为 $|\cos((x+h)^p)-\cos(x^p)| \approx |\sin(x^p)|\cdot|(x+h)^p - x^p|$，而 $(x+h)^p - x^p \approx p x^{p-1} h$。若 $p>1$，则当 $x$ 很大时系数 $p x^{p-1}$ 趋于无穷，破坏一致连续性。
公式：$(x+h)^p - x^p \sim p x^{p-1} h$ （$x\to +\infty$）
提示：导数无界是破坏一致连续性的常见原因。
步骤 4/7
目标：严格证明 p>1 时不一致连续
取 $x_n = (2n\pi)^{1/p}$，$y_n = ((2n+1)\pi)^{1/p}$，则 $\cos(x_n^p)=1$，$\cos(y_n^p)=-1$，函数值差为 $2$。两点距离 $|y_n - x_n| \approx \frac{\pi}{p} (2n\pi)^{1/p -1} \to 0$（当 $p>1$ 时）。因此对 $\varepsilon=1$，无论 $\delta$ 多小，总存在 $n$ 使 $|x_n-y_n|<\delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|=2>1$，故不一致连续。
公式：$|y_n - x_n| \sim \frac{\pi}{p} (2n\pi)^{1/p -1}$
提示：构造点列时，选择使函数值差固定为2的点，并验证距离趋于0。
步骤 5/7
目标：分析 0
当 $0
公式：$|f'(x)| \le p x^{p-1}$
提示：注意将区间分成两部分处理：靠近0的部分和无穷远的部分。
步骤 6/7
目标：分析 p<0 的情况
令 $q = -p > 0$，则 $x^p = 1/x^q$。当 $x\to 0^+$ 时，$1/x^q \to +\infty$，函数剧烈振荡。取 $x_n = (2n\pi)^{-1/q}$，$y_n = ((2n+1)\pi)^{-1/q}$，则 $\cos(x_n^p)=1$，$\cos(y_n^p)=-1$，函数值差为2。两点距离 $|y_n - x_n| \to 0$（当 $n\to\infty$），因此在0附近不一致连续。故 $p<0$ 不可行。
公式：$x_n = (2n\pi)^{-1/q}$，$y_n = ((2n+1)\pi)^{-1/q}$
提示：p<0时，振荡在0附近发生，同样构造点列证明不一致连续。
步骤 7/7
目标：综合所有情况，给出p的取值范围
由以上分析：$p=0$ 可行，$01$ 不可行，$p<0$ 不可行。因此 $p$ 的取值范围是 $0 \le p \le 1$。
公式：$0 \le p \le 1$
提示：注意边界p=0和p=1都包含在内。
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