苏州大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上黎曼可积，这意味着它们在 $[a,b]$ 上有界，且对于任意划分，当划分的细度趋于零时，黎曼和的极限存在且相等。需要证明乘积函数 $h(x)=f(x)g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
提示：黎曼可积的必要条件是函数有界，这是后续证明的基础。
步骤 2/5
目标：利用有界性设定界
由于 $f$ 和 $g$ 黎曼可积，它们在 $[a,b]$ 上有界。设存在常数 $M_1>0$ 和 $M_2>0$，使得对任意 $x\in[a,b]$，有 $|f(x)|\le M_1$，$|g(x)|\le M_2$。则乘积函数 $h(x)=f(x)g(x)$ 满足 $|h(x)|\le M_1M_2$，因此 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
公式：$|f(x)|\le M_1,\ |g(x)|\le M_2,\ |f(x)g(x)|\le M_1M_2$
提示：有界性是黎曼可积的必要条件，但并非充分条件，还需进一步证明振幅和可控。
步骤 3/5
目标：建立乘积函数振幅的不等式
考虑任意一个划分 $P: a=x_0
公式：$\omega_h(i)\le M_1\omega_g(i)+M_2\omega_f(i)$
提示：注意恒等式的分解技巧，将乘积的差转化为两个函数各自差的线性组合，从而利用已知的振幅控制。
步骤 4/5
目标：推导上下和之差的估计
对于划分 $P$，函数 $h$ 的上和与下和之差为：
$U(h,P)-L(h,P)=\sum_{i=1}^n \omega_h(i)\Delta x_i$。
代入振幅不等式得：
$U(h,P)-L(h,P)\le M_1\sum_{i=1}^n \omega_g(i)\Delta x_i+M_2\sum_{i=1}^n \omega_f(i)\Delta x_i$。
而右边两项恰好是 $M_1[U(g,P)-L(g,P)]+M_2[U(f,P)-L(f,P)]$。
公式：$U(h,P)-L(h,P)\le M_1[U(g,P)-L(g,P)]+M_2[U(f,P)-L(f,P)]$
提示：这一步将乘积函数的可积性问题转化为已知可积函数的上下和之差，为后续利用 $\varepsilon$ 论证做准备。
步骤 5/5
目标：利用可积性条件完成证明
因为 $f$ 和 $g$ 黎曼可积，根据达布定理，对任意 $\varepsilon>0$，存在划分 $P$ 使得：
$U(f,P)-L(f,P)<\frac{\varepsilon}{2M_2}$，$U(g,P)-L(g,P)<\frac{\varepsilon}{2M_1}$。
代入上一步的不等式得：
$U(h,P)-L(h,P)0$，存在划分使 $h$ 的上下和之差小于 $\varepsilon$，由达布定理知 $h(x)=f(x)g(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
公式：$U(h,P)-L(h,P)<\varepsilon$
提示：注意 $M_1$ 和 $M_2$ 可能为零，但若为零则函数恒为零，乘积可积性显然成立；此处假设非零，零的情况可单独处理。
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