苏州大学 2025年数学分析第6题

令 $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$，则 $F'(x)=f(x)$，$F''(x)=f'(x)$。原方程 $f'(x)+f(x)\tan x=\int_0^x f(t)\,dt$ 变为 $F''(x)+F'(x)\tan x = F(x)$，即 $F''(x)+\tan x\cdot F'(x)-F(x)=0$。由条件 $\int_0^1 f(x)\,dx=0$ 知 $F(1)=0$，且显然 $F(0)=0$。

对原方程 $f'(x)+f(x)\tan x = \int_0^x f(t)\,dt$ 两边关于 $x$ 求导：左边导数为 $f''(x)+f'(x)\tan x + f(x)\sec^2 x$，右边导数为 $f(x)$。整理得 $f''(x)+\tan x\,f'(x)+(\sec^2 x-1)f(x)=0$。由于 $\sec^2 x-1=\tan^2 x$，故 $f''(x)+\tan x\,f'(x)+\tan^2 x\,f(x)=0$。

原方程两边乘以 $f(x)$ 得：$f(x)f'(x)+f^2(x)\tan x = f(x)\int_0^x f(t)\,dt$。对 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 积分：$\int_0^1 f(x)f'(x)\,dx = \frac12[f^2(x)]_0^1 = \frac12[f^2(1)-f^2(0)]$。$\int_0^1 f^2(x)\tan x\,dx$ 保留。右边 $\int_0^1 f(x)\left(\int_0^x f(t)\,dt\right)dx$ 可通过交换积分次序处理：令 $I=\int_0^1 f(x)\left(\int_0^x f(t)\,dt\right)dx$，则 $I=\int_0^1 \int_0^x f(x)f(t)\,dt\,dx$，交换次序得 $I=\int_0^1 \int_t^1 f(x)f(t)\,dx\,dt = \int_0^1 f(t)\left(\int_t^1 f(x)\,dx\right)dt$。由于 $\int_0^1 f(x)\,dx=0$，故 $\int_t^1 f(x)\,dx = -\int_0^t f(x)\,dx = -F(t)$。因此 $I = -\int_0^1 f(t)F(t)\,dt = -\int_0^1 F'(t)F(t)\,dt = -\frac12[F^2(t)]_0^1 = -\frac12[F^2(1)-F^2(0)] = 0$（因为 $F(0)=F(1)=0$）。于是原积分等式化为 $\frac12[f^2(1)-f^2(0)] + \int_0^1 f^2(x)\tan x\,dx = 0$。

在区间 $[0,1]$ 上，$\tan x \ge 0$（仅在 $x=0$ 处为0），因此 $\int_0^1 f^2(x)\tan x\,dx \ge 0$。又 $\frac12[f^2(1)-f^2(0)] + \int_0^1 f^2(x)\tan x\,dx = 0$，故 $\frac12[f^2(1)-f^2(0)] \le 0$，即 $f^2(1) \le f^2(0)$。另一方面，考虑原方程在 $x=0$ 处的值：$f'(0)+f(0)\cdot 0 = \int_0^0 f(t)\,dt = 0$，得 $f'(0)=0$。但仅凭此不足以直接得到 $f(0)=0$。我们需要更精细的分析。实际上，由 $\int_0^1 f^2(x)\tan x\,dx \ge 0$ 和等式可知 $\int_0^1 f^2(x)\tan x\,dx = 0$ 且 $f^2(1)=f^2(0)$。由于 $\tan x > 0$ 对 $x\in(0,1]$，被积函数非负且积分为0，推出 $f(x)\equiv 0$ 在 $(0,1]$ 上，再由连续性得 $f(0)=0$。因此 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒为零。