苏州大学 2025年数学分析第7题

已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $f_{xx}'' + f_{yy}'' = 2xy$，即拉普拉斯算子 $\Delta f = 2xy$。给定 $f(0,0)=2024$。要求计算 $I(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_{L_r} f(x,y) \, ds$，其中 $L_r: x^2+y^2=r^2$，$ds$ 为弧长微元。

在圆周 $L_r$ 上，参数化 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，弧长微元 $ds = r\, d\theta$，其中 $\theta \in [0, 2\pi)$。代入得： $$I(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_0^{2\pi} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, d\theta$$ 因此 $I(r)$ 是函数 $f$ 在半径为 $r$ 的圆周上的平均值。

对 $I(r)$ 关于 $r$ 求导： $$I'(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left( f_x \cos\theta + f_y \sin\theta \right) \, d\theta$$ 这个积分可以改写为沿圆周的法向导数积分： $$I'(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_{L_r} \nabla f \cdot \mathbf{n} \, ds$$ 其中 $\mathbf{n}$ 是单位外法向量。应用散度定理（高斯定理）将线积分转化为面积分： $$\int_{L_r} \nabla f \cdot \mathbf{n} \, ds = \iint_{B_r} \Delta f \, dA$$ 其中 $B_r$ 是半径为 $r$ 的圆盘。因此： $$I'(r) = \frac{1}{2\pi r} \iint_{B_r} \Delta f \, dA$$

已知 $\Delta f = 2xy$，代入得： $$I'(r) = \frac{1}{2\pi r} \iint_{B_r} 2xy \, dA = \frac{1}{\pi r} \iint_{B_r} xy \, dA$$ 在极坐标下计算面积分：$x = \rho\cos\theta, y = \rho\sin\theta$，$dA = \rho\, d\rho\, d\theta$，积分区域 $\rho \in [0, r], \theta \in [0, 2\pi)$： $$\iint_{B_r} xy \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^r (\rho\cos\theta)(\rho\sin\theta) \cdot \rho \, d\rho\, d\theta = \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin\theta \, d\theta \cdot \int_0^r \rho^3 \, d\rho$$ 计算 $\int_0^{2\pi} \cos\theta\sin\theta \, d\theta = \frac12 \int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$，因此整个面积分为 $0$。于是 $I'(r) = 0$。

由 $I'(r)=0$ 可知 $I(r)$ 是与 $r$ 无关的常数。取极限 $r \to 0^+$，此时圆周收缩到原点，平均值趋于中心点的函数值： $$\lim_{r \to 0^+} I(r) = f(0,0) = 2024$$ 因此对任意 $r > 0$，有 $I(r) = 2024$。