苏州大学 2025年数学分析第8题

考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。这是一个交错级数，通项 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减趋于0。由莱布尼茨判别法，该级数收敛。再考虑绝对收敛性：$\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是 $p=\frac12<1$ 的 $p$-级数，发散。因此原级数条件收敛。

考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} - (-1)^n}$。首先验证分母不为零：当 $n=1$ 时分母为 $1-(-1)=2$；当 $n\ge2$ 时，$\sqrt{n} \ge \sqrt{2} > 1$，分母恒正。改写通项：对 $n\ge2$，有 \[ \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} - (-1)^n} = \frac{(-1)^n(\sqrt{n}+(-1)^n)}{n-1} = \frac{(-1)^n\sqrt{n}}{n-1} + \frac{1}{n-1}. \] 第一部分 $\frac{(-1)^n\sqrt{n}}{n-1} \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，由第一个级数知条件收敛；第二部分 $\frac{1}{n-1}$ 是调和级数，发散。收敛加发散得发散。

考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}$，其中 $[x]$ 表示取整。将 $n$ 按区间分组：当 $k^2 \le n < (k+1)^2$ 时，$[\sqrt{n}] = k$，符号 $(-1)^k$ 在该区间内为常数。区间长度为 $2k+1$。级数化为 \[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1} \frac{1}{n}. \] 内层和 $b_k = \sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1} \frac{1}{n}$ 满足 $\int_{k^2}^{(k+1)^2} \frac{dx}{x} = \ln\frac{(k+1)^2}{k^2} = 2\ln(1+\frac1k) \sim \frac{2}{k}$，且 $b_k$ 单调递减趋于0。由莱布尼茨判别法，原级数收敛。绝对收敛性：$\sum b_k \sim \sum \frac{2}{k}$ 发散，故条件收敛。