苏州大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)<0<f(1)$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) \mathbf{>} \mathbf{0}$ ．
（1）证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）记 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=\xi$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明存在唯一的零点 ξ∈(0,1) 使得 f(ξ)=0
由已知条件，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（二阶可导蕴含连续），且 $f(0)<00$ 对一切 $x\in[0,1]$ 成立，故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递增，因此这样的零点至多只有一个。综上，存在唯一的 $\xi \in (0,1)$ 满足 $f(\xi)=0$。
公式：f(0)<00 \Rightarrow \text{唯一性}
提示：注意介值定理要求函数连续，而二阶可导保证了连续性；严格单调性由导数恒正保证。
步骤 2/4
目标：证明牛顿迭代数列 {x_n} 收敛到 ξ
设 $x_1=1$。由于 $f(1)>0$ 且 $f'(x)>0$，$f''(x)>0$，函数是严格凸且严格递增的。首先证明数列单调递减且有下界 $\xi$。当 $x_n > \xi$ 时，$f(x_n)>0$，由迭代公式 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 得 $x_{n+1}\xi$。因此 $x_1=1>\xi$，数列严格递减且以 $\xi$ 为下界，故极限存在，记极限为 $L$。对迭代式两边取极限得 $L = L - \frac{f(L)}{f'(L)}$，从而 $f(L)=0$，由唯一性知 $L=\xi$。
公式：x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad \lim_{n\to\infty} x_n = \xi
提示：凸函数性质：对于凸函数，切线在函数下方，因此牛顿迭代值大于零点。
步骤 3/4
目标：推导 x_{n+1}-ξ 与 (x_n-ξ)^2 的关系
由牛顿迭代公式：$x_{n+1}-\xi = x_n-\xi - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。将 $f(x_n)$ 和 $f'(x_n)$ 在 $\xi$ 处泰勒展开：
$f(x_n) = f'(\xi)(x_n-\xi) + \frac{f''(\xi)}{2}(x_n-\xi)^2 + o((x_n-\xi)^2)$，
$f'(x_n) = f'(\xi) + f''(\xi)(x_n-\xi) + o(x_n-\xi)$。
代入得：
$\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = \frac{f'(\xi)(x_n-\xi) + \frac{f''(\xi)}{2}(x_n-\xi)^2 + \cdots}{f'(\xi) + f''(\xi)(x_n-\xi) + \cdots}$。
提取公因子 $(x_n-\xi)$ 并利用 $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots$ 展开到二阶：
$= (x_n-\xi)\left[1 - \frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}(x_n-\xi) + o(x_n-\xi)\right]$。
因此 $x_{n+1}-\xi = \frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}(x_n-\xi)^2 + o((x_n-\xi)^2)$。
公式：x_{n+1}-\xi = \frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}(x_n-\xi)^2 + o((x_n-\xi)^2)
提示：泰勒展开时注意保留足够阶数，并正确处理分母的展开。
步骤 4/4
目标：计算极限 lim_{n→∞} (x_{n+1}-ξ)/(x_n-ξ)^2
由第三步得到的表达式：$x_{n+1}-\xi = \frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}(x_n-\xi)^2 + o((x_n-\xi)^2)$，两边除以 $(x_n-\xi)^2$ 得：
$\frac{x_{n+1}-\xi}{(x_n-\xi)^2} = \frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)} + \frac{o((x_n-\xi)^2)}{(x_n-\xi)^2}$。
由于 $\lim_{n\to\infty} (x_n-\xi)=0$，故 $\frac{o((x_n-\xi)^2)}{(x_n-\xi)^2} \to 0$。因此极限为 $\frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{(x_n-\xi)^2} = \frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}
提示：注意 $f''(\xi)>0$ 且 $f'(\xi)>0$，故极限为正数，表明牛顿迭代是二阶收敛的。
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