苏州大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．（15 分）解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明第一问：将积分区间分割成n个小区间，利用周期函数的积分性质
由于 $|\sin nx|$ 的周期为 $\pi/n$，将区间 $[0,\pi]$ 等分为 $n$ 个长度为 $\pi/n$ 的小区间，记 $x_k = k\pi/n$，$k=0,1,\dots,n-1$。则原积分可写为：
$$
\int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} f(x)|\sin nx|\,dx.
$$
公式：$$\int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} f(x)|\sin nx|\,dx$$
提示：注意 $|\sin nx|$ 的周期是 $\pi/n$，而不是 $\pi$，分割时要与周期匹配。
步骤 2/7
目标：计算每个小区间上 $|\sin nx|$ 的积分值
对每个小区间 $[k\pi/n, (k+1)\pi/n]$，作变量代换 $u = nx$，则 $dx = du/n$，积分限变为 $[k\pi, (k+1)\pi]$。由于 $|\sin u|$ 的周期为 $\pi$，在一个周期上的积分为 $\int_0^\pi |\sin u|\,du = 2$。因此：
$$
\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} |\sin nx|\,dx = \frac{1}{n}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin u|\,du = \frac{2}{n}.
$$
公式：$$\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} |\sin nx|\,dx = \frac{2}{n}$$
提示：注意 $\int_0^\pi |\sin u|\,du = 2$，这是常用结论，不要算错。
步骤 3/7
目标：在每个小区间上应用积分中值定理
由于 $f(x)$ 连续，在每个小区间 $[k\pi/n, (k+1)\pi/n]$ 上，由积分中值定理，存在 $\xi_k \in [k\pi/n, (k+1)\pi/n]$，使得：
$$
\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} f(x)|\sin nx|\,dx = f(\xi_k) \int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} |\sin nx|\,dx = \frac{2}{n} f(\xi_k).
$$
于是原积分化为：
$$
\int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k).
$$
公式：$$\int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k)$$
提示：积分中值定理要求被积函数连续，这里 $|\sin nx|$ 连续，$f$ 连续，乘积连续，条件满足。
步骤 4/7
目标：将求和式转化为黎曼和，取极限得到结果
注意到 $\xi_k \in [k\pi/n, (k+1)\pi/n]$，因此 $\frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k)$ 是 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的一个黎曼和。当 $n \to \infty$ 时，该黎曼和收敛于 $\int_0^\pi f(x)\,dx$。于是：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) = \frac{2}{\pi} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x)\,dx.
$$
第一问证毕。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x)\,dx$$
提示：注意黎曼和中的区间长度是 $\pi/n$，不要漏掉因子 $\pi$。
步骤 5/7
目标：证明第二问：记 $M = \max_{x\in[a,b]}|f(x)|$，先证明上界估计
由于 $|f(x)| \leq M$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立，因此：
$$
\int_a^b |f(x)|^n\,dx \leq \int_a^b M^n\,dx = M^n (b-a).
$$
两边开 $n$ 次方得：
$$
\left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} \leq M (b-a)^{1/n}.
$$
当 $n \to \infty$ 时，$(b-a)^{1/n} \to 1$，所以上极限 $\leq M$。
公式：$$\left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} \leq M (b-a)^{1/n}$$
提示：上界估计是直接的，注意 $(b-a)^{1/n} \to 1$ 是常用极限。
步骤 6/7
目标：证明下界估计：利用最大值点附近的连续性构造下界
设 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $|f(x_0)| = M$。由 $f$ 的连续性，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x)| > M - \varepsilon$。取区间 $[c,d] = [x_0 - \delta/2, x_0 + \delta/2] \cap [a,b]$，其长度 $d-c = l > 0$。则：
$$
\int_a^b |f(x)|^n\,dx \geq \int_c^d (M-\varepsilon)^n\,dx = (M-\varepsilon)^n l.
$$
开 $n$ 次方得：
$$
\left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} \geq (M-\varepsilon) l^{1/n}.
$$
当 $n \to \infty$ 时，$l^{1/n} \to 1$，所以下极限 $\geq M-\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，下极限 $\geq M$。
公式：$$\left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} \geq (M-\varepsilon) l^{1/n}$$
提示：下界估计的关键是利用连续性找到一段区间使 $|f(x)|$ 接近最大值，注意 $l$ 是固定正数，其 $1/n$ 次方趋于1。
步骤 7/7
目标：结合上下界，得出极限存在且等于 $M$
由步骤5得：$\limsup_{n\to\infty} \left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} \leq M$。
由步骤6得：$\liminf_{n\to\infty} \left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} \geq M$。
因此上极限等于下极限，极限存在且等于 $M$，即：
$$
\lim_{n\to\infty} \left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} = \max_{x\in[a,b]} |f(x)|.
$$
第二问证毕。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \left( \int_a^b |f(x)|^n\,dx \right)^{1/n} = \max_{x\in[a,b]} |f(x)|$$
提示：上极限与下极限相等是极限存在的充要条件，注意这里不需要单独证明极限存在，直接由夹逼原理得到。
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