📝 苏州大学 2026年数学分析真题
第1题
1．（ 20 分）解答如下问题：
（1）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (n x)-n \sin x}{n^{3} x^{3}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1+x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0, \\ e, & x=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（1）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (n x)-n \sin x}{n^{3} x^{3}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1+x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0, \\ e, & x=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
第2题
2．（20 分）已知函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta)=\eta$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta)=\eta$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$ ．
第3题
3．（15 分）证明：在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上，有 $\displaystyle \sin x \geq \frac{2}{\pi} x+\frac{1}{12 \pi} x\left(\pi^{2}-4 x^{2}\right)$ ．
第4题
4．（15 分）解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
第5题
5．（15 分）解答如下问题：
（1）判断函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x e^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性．
（2）判断函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 上的一致收玫性．
（1）判断函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x e^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性．
（2）判断函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 上的一致收玫性．
第6题
6．（20 分）解答如下问题：
（1）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2026} \mathrm{~d} x$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x$ ．
（1）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2026} \mathrm{~d} x$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x$ ．
第7题
7．（15 分）解答如下问题：
（1）求 $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 的上半部分，方向从 $\displaystyle (-2,0)$ 到 $\displaystyle (2,0)$ ．
（2）求由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围立体部分的表面积．
（1）求 $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 的上半部分，方向从 $\displaystyle (-2,0)$ 到 $\displaystyle (2,0)$ ．
（2）求由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围立体部分的表面积．
第8题
8．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y, z)=2\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)-5\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle x, y, z \geq 0$ ，求 $f$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=3$ 下的最值．
第9题
9．（15 分）二元函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上具有二阶连续偏导数，且在边界 $\displaystyle \partial D$ 上 $\displaystyle u=0$ ．如果
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, y)+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}(x, y)=-\lambda u(x, y), \forall(x, y) \in D
$$
（1）证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda \iint_{D} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2）若存在函数 $\displaystyle f, g$ ，使得 $u$ 可以表示为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ，且在区域 $D$ 内部 $\displaystyle u>0$ ，求 $\displaystyle \lambda$ 的值．
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, y)+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}(x, y)=-\lambda u(x, y), \forall(x, y) \in D
$$
（1）证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda \iint_{D} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2）若存在函数 $\displaystyle f, g$ ，使得 $u$ 可以表示为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ，且在区域 $D$ 内部 $\displaystyle u>0$ ，求 $\displaystyle \lambda$ 的值．