苏州大学 2026年数学分析第3题

将右边展开并合并： \[ \frac{2}{\pi}x + \frac{1}{12\pi}x(\pi^2 - 4x^2) = \frac{2}{\pi}x + \frac{\pi x}{12} - \frac{4x^3}{12\pi} = x\left(\frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{12}\right) - \frac{x^3}{3\pi}. \] 计算系数： \[ \frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{12} = \frac{24}{12\pi} + \frac{\pi^2}{12\pi} = \frac{24+\pi^2}{12\pi}. \] 因此原不等式等价于 \[ \sin x \ge \frac{24+\pi^2}{12\pi}x - \frac{1}{3\pi}x^3. \]

令 \[ f(x) = \sin x - \frac{24+\pi^2}{12\pi}x + \frac{1}{3\pi}x^3. \] 求一阶导数： \[ f'(x) = \cos x - \frac{24+\pi^2}{12\pi} + \frac{1}{\pi}x^2. \] 求二阶导数： \[ f''(x) = -\sin x + \frac{2}{\pi}x. \] 求三阶导数： \[ f'''(x) = -\cos x + \frac{2}{\pi}. \]

在区间 \([0, \pi/2]\) 上，\(\cos x\) 从 1 递减到 0，因此 \(f'''(x) = -\cos x + \frac{2}{\pi}\)。 计算端点：\(f'''(0) = -1 + \frac{2}{\pi} < 0\)，\(f'''(\pi/2) = 0 + \frac{2}{\pi} > 0\)。 故存在唯一 \(x_0 \in (0, \pi/2)\) 使 \(f'''(x_0)=0\)，即 \(\cos x_0 = \frac{2}{\pi}\)。 当 \(x < x_0\) 时 \(f'''(x) < 0\)，当 \(x > x_0\) 时 \(f'''(x) > 0\)，所以 \(f''(x)\) 先减后增。 计算端点二阶导：\(f''(0) = 0\)，\(f''(\pi/2) = -1 + 1 = 0\)。 因此 \(f''(x) \le 0\) 在区间内成立（中间为负），即 \(f'(x)\) 单调递减。

计算 \(f'(0)\) 和 \(f'(\pi/2)\)： \[ f'(0) = 1 - \frac{24+\pi^2}{12\pi} > 0 \quad (\text{因为 } \frac{24+\pi^2}{12\pi} \approx 0.898 < 1), \] \[ f'(\pi/2) = 0 - \frac{24+\pi^2}{12\pi} + \frac{\pi}{4} < 0 \quad (\text{因为 } \frac{\pi}{4} \approx 0.785 < 0.898). \] 由于 \(f'(x)\) 单调递减，存在唯一 \(x_1 \in (0, \pi/2)\) 使 \(f'(x_1)=0\)，且 \(f(x)\) 在 \([0, x_1]\) 上递增，在 \([x_1, \pi/2]\) 上递减。 计算端点函数值： \[ f(0) = 0, \] \[ f(\pi/2) = 1 - \frac{24+\pi^2}{12\pi} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3\pi} \cdot \frac{\pi^3}{8} = 1 - \frac{24+\pi^2}{24} + \frac{\pi^2}{24} = 1 - 1 = 0. \] 因此 \(f(x) \ge 0\) 在区间内恒成立。

由 \(f(x) \ge 0\) 在 \([0, \pi/2]\) 上成立，即 \[ \sin x - \frac{24+\pi^2}{12\pi}x + \frac{1}{3\pi}x^3 \ge 0, \] 整理得原不等式 \[ \sin x \ge \frac{2}{\pi}x + \frac{1}{12\pi}x(\pi^2 - 4x^2) \] 在区间 \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) 上成立。证明完毕。