苏州大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．（20 分）已知函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta)=\eta$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并利用介值定理证明存在η∈(1/2,1)使得f(η)=η
定义辅助函数 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可微。计算端点值：$g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$，$g(1)=f(1)-1=0-1=-1<0$。由连续函数的介值定理，存在 $\eta\in(\frac{1}{2},1)$ 使得 $g(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。
公式：$g(x)=f(x)-x$，$g(\frac{1}{2})>0$，$g(1)<0$，由介值定理得 $\exists\eta\in(\frac{1}{2},1):g(\eta)=0$
提示：注意区间端点函数值异号是应用介值定理的关键，需确认函数连续性。
步骤 2/5
目标：构造新的辅助函数h(x)用于第二问的证明
为证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$，构造辅助函数 $h(x)=e^{-\lambda x}[f(x)-x]$。该函数在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可微。计算其导数：$h'(x)=e^{-\lambda x}[f'(x)-1]-\lambda e^{-\lambda x}[f(x)-x]=e^{-\lambda x}\big[f'(x)-1-\lambda(f(x)-x)\big]$。因此，要证的等式等价于 $h'(\xi)=0$。
公式：$h(x)=e^{-\lambda x}[f(x)-x]$，$h'(x)=e^{-\lambda x}[f'(x)-1-\lambda(f(x)-x)]$
提示：构造辅助函数时，常利用指数因子将目标等式转化为导数为零的形式，这是罗尔定理的典型应用。
步骤 3/5
目标：计算h(x)在关键点的函数值
计算 $h(x)$ 在 $x=0, \frac{1}{2}, 1$ 处的值：$h(0)=e^{0}[f(0)-0]=0$；$h(\frac{1}{2})=e^{-\lambda/2}[f(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}]=e^{-\lambda/2}(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}e^{-\lambda/2}>0$；$h(1)=e^{-\lambda}[f(1)-1]=e^{-\lambda}(0-1)=-e^{-\lambda}<0$。
公式：$h(0)=0$，$h(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}e^{-\lambda/2}>0$，$h(1)=-e^{-\lambda}<0$
提示：注意 $f(0)=0$，$f(1)=0$，$f(1/2)=1$ 这些已知条件的使用。
步骤 4/5
目标：利用介值定理得到h(x)的零点
由于 $h(\frac{1}{2})>0$ 且 $h(1)<0$，由介值定理，存在 $c\in(\frac{1}{2},1)$ 使得 $h(c)=0$。于是我们得到两个点 $x=0$ 和 $x=c$ 满足 $h(0)=h(c)=0$。
公式：$\exists c\in(\frac{1}{2},1):h(c)=0$，且 $h(0)=0$
提示：这里利用了第一问中 $f(\eta)=\eta$ 的结论吗？不，这里直接使用 $h(1/2)>0$ 和 $h(1)<0$ 得到零点，与第一问独立。
步骤 5/5
目标：应用罗尔定理得到导数为零的点
函数 $h(x)$ 在 $[0,c]$ 上连续，在 $(0,c)$ 上可微，且 $h(0)=h(c)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,c)\subset(0,1)$ 使得 $h'(\xi)=0$。代入 $h'(x)$ 的表达式得 $e^{-\lambda\xi}[f'(\xi)-1-\lambda(f(\xi)-\xi)]=0$，由于 $e^{-\lambda\xi}>0$，故 $f'(\xi)-1-\lambda(f(\xi)-\xi)=0$，即 $f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$。
公式：由罗尔定理，$\exists\xi\in(0,c):h'(\xi)=0$，推出 $f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导且端点值相等，这里 $[0,c]$ 满足条件。注意 $c<1$，所以 $\xi$ 在 $(0,1)$ 内。
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